Κριτήριο διχοτόμου

Al.Koutsouridis · #1

Αν δεν έχει ξανά εμφανιστεί...

Δίνεται τρίγωνο ABC

και σημείο

της πλευράς

. Να αποδείξετε ότι το τμήμα

είναι διχοτόμος της γωνίας

, αν και μόνο αν

$\left ( AB+BD \right ) \left( AC-CD \right) =AD^2$ .

StamatisGoudis · #2

Για τη μια φορά της ισοδυναμίας μόνο
Έστω a=BC, b=CA, c=AB, AD=d, m=BD, n=CD

Θα δείξουμε ότι αν η

είναι διχοτόμος, τότε ισχύει: $d^{2}=(c+m)(b-n)$
Είναι: RHS=bc-nc+mb-mn

Όμως, από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου, λαμβάνουμε: $\frac{b}{n}=\frac{c}{m} \Leftrightarrow mb=nc$
Άρα, αρκεί ν.δ.ο. : $d^{2}=bc-mn$
Το Θ. Stewart δίνει: $mb^{2}+nc^{2}=ad^2 +amn \Leftrightarrow d^{2}=\frac{mb^{2}+nc^{2}-amn}{a}$
Επομένως, έχουμε: $mb^{2}+nc^{2}-amn=a(bc-mn) \overset{mb=nc}{\Leftrightarrow} mb(b+c)=abc \Leftrightarrow m=\frac{ac}{b+c}$
Ωστόσο, η τελευταία ισότητα ισχύει.

STOPJOHN · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 03, 2020 12:41 am
Αν δεν έχει ξανά εμφανιστεί...

Δίνεται τρίγωνο και σημείο της πλευράς . Να αποδείξετε ότι το τμήμα είναι διχοτόμος της γωνίας , αν και μόνο αν

$\left ( AB+BD \right ) \left( AC-CD \right) =AD^2$ .

Ευθύ

Έστω ότι ισχύει η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ .Θα αποδειχθεί ότι

$AD^{2}=(AB+BD)(AC-DC),$

Ισχύουν οι τύποι απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου $BD=\dfrac{ac}{c+b},CD=\dfrac{ab}{c+b},$

Οπότε $(c+BD)(b-DC)=cb.\dfrac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(c+b)^{2}},(1)$

Από Θ. Stweart

είναι $AD^{2}=\dfrac{cb^{2}}{b+c}+\dfrac{bc^{2}}{c+b}-\dfrac{bca^{2}}{(c+b)^{2}}\Leftrightarrow AD^{2}=bc.[\dfrac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}}]=\delta _{a}^{2}$

η τελευταία ισότητα ειναι τύπος για την εσωτερική διχοτόμο

Αντίστροφο

Έστω ότι ισχύει $AD^{2}=(c+BD)(b-CD),$ ,θέτω BD=x, DC=a-x

. θα αποδειχθεί ότι η

είναι διχοτόμος

Απο $\Theta .S$ και την υπόθεση είναι

$(c+x).b+(x-a).(c-x)=\dfrac{b^{2}x}{a}-\dfrac{c^{2}(x-a)}{a}+x(x-a)\Leftrightarrow x=\dfrac{ac}{b+c}\Leftrightarrow \dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}$ και απο το αντίστροφο θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου συνεπάγεται ότι η

είναι διχοτόμος

Κριτήριο διχοτόμου

Κριτήριο διχοτόμου

Re: Κριτήριο διχοτόμου

Re: Κριτήριο διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση