Με σεβιανές!

#1

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και δύο τριάδες συντρεχουσών σεβιανών $\displaystyle{AA_1,BB_1,CC_1}$ και $\displaystyle{AA_2,BB_2,CC_2.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{27(A_1B_1C_1)}{(A_2B_2C_2)}\leq \left(\frac{AC_1}{AC_2}+\frac{BA_1}{BA_2}+\frac{CB_1}{CB_2}\right)^3}$

#2

Γράφω $\displaystyle a_1 = \frac{BA_1}{BC},b_1 = \frac{CB_1}{CA}$ και $\displaystyle c_1 = \frac{AC_1}{AB}$ . Ορίζω ομοίως τα a_2,b_2,c_2

. Μπορώ να υποθέσω ότι το ABC

έχει εμβαδόν

.

Έχω $\displaystyle (C_1BA_1) = (1-a_1)b_1, (A_1CB_1) = (1-b_1)c_1$ και (B_1AC_1) = (1-c_1)a_1

. Άρα

$\displaystyle \displaystyle{(A_1B_1C_1) = 1 - [(1-a_1)b_1 + (1-b_1)c_1 + (1-c_1)a_1] = 1 - (a_1+b_1+c_1) + (a_1b_1+b_1c_1+a_1c_1) = 2a_1b_1c_1}$

Η τελευταία ισότητα έπεται από το Θεώρημα του Ceva αφού a_1b_1c_1 = (1-a_1)(1-b_1)(1-c_1)

.

Μένει λοιπόν να δείξω ότι

$\displaystyle \frac{27a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2} \leqslant \left(\frac{a_1}{a_2} + \frac{b_1}{b_2} + \frac{c_1}{c_2} \right)^3$

Αυτή όμως είναι άμεση εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ.

Με σεβιανές!

Με σεβιανές!

Re: Με σεβιανές!

Μέλη σε σύνδεση