Ισότητα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει

$\displaystyle{16\sum m_a^2 m_b^2 = 9 \left ( s^2 + r^2 + 4Rr \right )^2 - 144 s^2 Rr }$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Να γράψω τη λύση, να μη μείνει αναπάντητη...

$16m^{2}_{a}\cdot m^{2}_{b}=4m^{2}_{a}\cdot4m^{2}_{b}=$

$\left ( 2b^{2}+2c^{2} -a^{2}\right )\left ( 2a^{2} +2c^{2}-b^{2}\right )=$

$4c^{4}-2a^{4}-2b^{4}+5a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}$

Mε αντίστοιχες σκέψεις προκύπτει ότι

$16m^{2}_{b}\cdot m^{2}_{c}=$

$4a^{4}-2b^{4}-2c^{4}+5b^{2}c^{2}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}$

και ότι

$16m^{2}_{c}\cdot m^{2}_{a}=$

$4b^{4}-2a^{4}-2c^{4}+5a^{2}c^{2}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}$

Το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

$9\left ( a^{2} b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\right )=$

$9\left [ \left ( ab+bc+ca \right )^{2}-2abc\left ( a+b+c \right ) \right ]=$

$9\left [ \left ( s^{2}+r^{2}+4Rr \right )^{2}-2\cdot 4srR\cdot 2s \right ]=$

$9\left ( s^{2}+r^{2}+4Rr \right )^{2}-144s^{2}Rr$

Ισότητα

Ισότητα

Re: Ισότητα

Μέλη σε σύνδεση