Εύρεση τύπου ακολουθιών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

Θεωρούμε τις ακολουθίες

$(a_{n})_{n\in \mathbb{N}},(b_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
με
$a_{1}=a,b_{1}=b$
και

$\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},b_{n}=\sqrt{a_{n}b_{n-1}}$

για n>1

Να βρεθούν τα a_n,b_n

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 22, 2020 12:26 am
Εστω
Θεωρούμε τις ακολουθίες

$(a_{n})_{n\in \mathbb{N}},(b_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
με
$a_{1}=a,b_{1}=b$
και

$\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},b_{n}=\sqrt{a_{n}b_{n-1}}$

για

Να βρεθούν τα

Χωρίς πολλές λεπτομέρειες.

Θέτουμε $\displaystyle \dfrac{a}{b}=\cos \theta$ όπου $\theta$ κάποια (μοναδική) γωνία στο $(0,\pi /2).$

Από την πρώτη δοσμένη σχέση παίρνουμε:

$\displaystyle a_2=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1}{2}b\left (1+\dfrac{a}{b} \right )= \dfrac{1}{2}b\left (1+\cos \theta \right ) =b\cos^2 (\theta/2) \quad (1)$

Από τη δεύτερη δοσμένη σχέση και την (1)

έχουμε:

$\displaystyle b_2=\sqrt{a_2b}=\sqrt{b^2 \cos^2(\theta/2)}=b\cos (\theta/2)$

Όμοια, για το a_3

και το

, βρίσκουμε:

$\displaystyle a_3=b\cos (\theta/2)\cos^2 (\theta/4)$ και $b_3=b\cos (\theta/2)\cos(\theta/4).$

Με επαγωγή τώρα δείχνουμε (εύκολα) ότι

$\displaystyle a_n=b\cos (\theta /2^{n-1})\prod_{k=1}^{n-1}\cos (\theta/2^{k})$ και $\displaystyle b_n=b\prod_{k=1}^{n-1}\cos (\theta/2^{k}).$

Μπορούμε να δώσουμε και κλειστό τύπο για τις παραπάνω ακολουθίες για το λόγο ότι, αυξανομένου του

, το γινόμενο ''ξεχειλώνει''. Το αφήνω για τους μικρούς ταλαντούχους του

.

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:21 am
Μπορούμε να δώσουμε και κλειστό τύπο για τις παραπάνω ακολουθίες για το λόγο ότι, αυξανομένου του

, το γινόμενο ''ξεχειλώνει''. Το αφήνω για τους μικρούς ταλαντούχους του .

.
Υπόδειξη
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.
Πιστεύω ότι το έχουμε ξαναδεί στο φόρουμ, αλλά άντε βρες το.

Εύρεση τύπου ακολουθιών

Εύρεση τύπου ακολουθιών

Re: Εύρεση τύπου ακολουθιών

Re: Εύρεση τύπου ακολουθιών

Μέλη σε σύνδεση