Περίεργη Ανισότητα

harrisp · #1

Έστω οι θετικοί πραγματικοί a_1,...,a_n

με $n\geq 2$ .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)$

JimNt. · #2

Μένουν να ελεγχθούν τα τα (2,3,4,5)

(το

ισχύει αλλά tο αφήνω για τον reader μιας και η ερώτηση επρόκειτο για γενίκευση ) Για $n \ge 6$ σίγουρα δεν ισχύει, αφού μπορούμε να εξασφαλίσουμε $a_i^2 +\dfrac{2n-1}{n-1} <3a_i$ ( μιας και 4(2n-1)<9(n-1)

) για $i= \{1,...,n-1\}$ με a_i

σε finite διάστημα, και $a_n \rightarrow 0$ .

dement · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 am
Έστω οι θετικοί πραγματικοί με $n\geq 2$ .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)$

(Περιλαμβάνω το

στις πιθανές τιμές των όρων χωρίς βλάβη, λόγω συνέχειας).

Το μέρος της παράστασης που περιέχει τους όρους a_1, a_2

γράφεται ως $(a_1 + a_2)(a_1 + a_2 - 3) + \left( a_3a_4 \cdot \cdot \cdot a_n - 2 \right) a_1 a_2$ , οπότε, για να έχουμε ελαχιστοποίηση, πρέπει, ανάλογα με το γινόμενο των υπόλοιπων όρων, τα a_1, a_2

να είναι ίσα (αν το γινόμενο είναι μικρότερο του

) ή το ένα τουλάχιστον πρέπει να είναι

αν το γινόμενο είναι μεγαλύτερο του

.

Έτσι, βλέπουμε εύκολα ότι η συνολική παράσταση ελαχιστοποιείται αν
1. Όλοι οι όροι είναι ίσοι ή
2. Ένας είναι

και οι υπόλοιποι ίσοι.

Στην πρώτη περίπτωση η παράσταση γίνεται $nx^2 + x^n + 2n-1 - 3nx = (nx^2 + n) + (x^n + n - 1) - 3nx \geqslant 0$ από ΑΜ-ΓΜ και η ανισότητα ισχύει πάντα.

Στη δεύτερη περίπτωση η παράσταση γίνεται $\displaystyle (n-1)x^2 - 3(n-1)x + 2n - 1 = (n-1) \left( x^2 - 3x + 2 + \frac{1}{n-1} \right)$ . Το τριώνυμο

έχει ελάχιστη τιμή -1/4

(για $x \geqslant 0$ ), οπότε για n > 5

η ανισότητα δεν ισχύει πάντα (π.χ. $a_1 = a_2 = ... = a_{n-1} = 3/2, a_n = 0$ ), ενώ για n = 2, 3, 4, 5

ισχύει.

Περίεργη Ανισότητα

Περίεργη Ανισότητα

Re: Περίεργη Ανισότητα

Re: Περίεργη Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση