Περίεργη Ανισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Περίεργη Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 am

Έστω οι θετικοί πραγματικοί a_1,...,a_n με n\geq 2.
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 566
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Περίεργη Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Σάβ Αύγ 17, 2019 8:38 am

Μένουν να ελεγχθούν τα τα (2,3,4,5) (το 2 ισχύει αλλά tο αφήνω για τον reader μιας και η ερώτηση επρόκειτο για γενίκευση ) Για n \ge 6 σίγουρα δεν ισχύει, αφού μπορούμε να εξασφαλίσουμε a_i^2 +\dfrac{2n-1}{n-1} <3a_i ( μιας και 4(2n-1)<9(n-1)) για i= \{1,...,n-1\} με a_i σε finite διάστημα, και a_n  \rightarrow 0.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Περίεργη Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Αύγ 17, 2019 7:50 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 am
Έστω οι θετικοί πραγματικοί a_1,...,a_n με n\geq 2.
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)
(Περιλαμβάνω το 0 στις πιθανές τιμές των όρων χωρίς βλάβη, λόγω συνέχειας).

Το μέρος της παράστασης που περιέχει τους όρους a_1, a_2 γράφεται ως (a_1 + a_2)(a_1 + a_2 - 3) + \left( a_3a_4 \cdot \cdot \cdot a_n - 2 \right) a_1 a_2, οπότε, για να έχουμε ελαχιστοποίηση, πρέπει, ανάλογα με το γινόμενο των υπόλοιπων όρων, τα a_1, a_2 να είναι ίσα (αν το γινόμενο είναι μικρότερο του 2) ή το ένα τουλάχιστον πρέπει να είναι 0 αν το γινόμενο είναι μεγαλύτερο του 2.

Έτσι, βλέπουμε εύκολα ότι η συνολική παράσταση ελαχιστοποιείται αν
1. Όλοι οι όροι είναι ίσοι ή
2. Ένας είναι 0 και οι υπόλοιποι ίσοι.

Στην πρώτη περίπτωση η παράσταση γίνεται nx^2 + x^n + 2n-1 - 3nx = (nx^2 + n) + (x^n + n - 1) - 3nx \geqslant 0 από ΑΜ-ΓΜ και η ανισότητα ισχύει πάντα.

Στη δεύτερη περίπτωση η παράσταση γίνεται \displaystyle (n-1)x^2 - 3(n-1)x + 2n - 1 = (n-1) \left( x^2 - 3x + 2 + \frac{1}{n-1} \right). Το τριώνυμο x^2 - 3x + 2 έχει ελάχιστη τιμή -1/4 (για x \geqslant 0), οπότε για n > 5 η ανισότητα δεν ισχύει πάντα (π.χ. a_1 = a_2 = ... = a_{n-1} = 3/2, a_n = 0), ενώ για n = 2, 3, 4, 5 ισχύει.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης