Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(xf(x) + yf(y)) = xy,

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}^+$ .

#2

Επαναφορά!

min## · #3

Μ'άρεσε αυτή.Αρχικά η

είναι επί,οπότε υπάρχει a,f(a)=1/2

.Με $(x,y) \to (a,a)$ προκύπτει πως το μοναδικό

είναι το $1/\sqrt{2}$ και συνεπώς ότι xf(x)

άνω φραγμένη.Όμως, f(xf(x)+yf(y))*(xf(x)+yf(y))=xy(xf(x)+yf(y))

η οποία για σταθερά

περιέχει πρωτοβάθμια ως προς

,με σταθερό,θετικό συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου, που σημαίνει πως δεν είναι άνω φραγμένη:άτοπο,δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.