Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

#1

Η συνάρτηση $F_m(a)=\displaystyle\sum_{k=1}^{k=m}\binom{m+k}{2k}a^{k-1}$ έχει ενδιαφέρουσες παραγοντοποιήσεις, για μικρές τιμές της παραμέτρου

τουλάχιστον. Μπορεί κανείς να πει κάτι περισσότερο;

[Μου παρουσιάστηκε κατά την διάρκεια ανεπιτυχούς προσπάθειας επίλυσης άλλου προβλήματος. Δεν έχω απάντηση στο παραπάνω ερώτημα, και δεν ξέρω αν είναι αυτός ο σωστός φάκελος.]

#2

Σχετίζεται με τα πολυώνυμα Chebychev. Βγάζω ότι

$\displaystyle F_m(-4\sin^2{\vartheta}) = \frac{\cos{\vartheta} - \cos{((2m+1)\vartheta)}}{4\sin^2{\vartheta}} = \frac{\sin{(m\vartheta)}\sin{(m+1)\vartheta}}{2\sin^2{\vartheta}}$

Από αυτό, είναι άμεσο να βρούμε τις ρίζες του

. Βγαίνει λοιπόν ότι

$F_m(x) = P_m(x)P_{m+1}(x)$

όπου

$\displaystyle P_n(x) = \prod_{k=1}^{[(n-1)/2]} \left(x + 4\sin^2{\left(\frac{k\pi}{n} \right)}\right)$

#3

Ας δούμε και περισσότερες λεπτομέρειες.

Θα εργαστώ με την $\displaystyle A_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{2k} x^k.$ Θα χρησιμοποιήσω επίσης και την $\displaystyle B_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n+k}{2k+1} x^k.$

Ας θυμηθούμε ότι $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$ για $k \geqslant 1$ . Αποδεικνύεται είτε αλγεβρικά είτε και συνδυαστικά παρατηρώντας ότι υπάρχουν $\binom{n-1}{k-1}$ τρόποι να επιλέξω

στοιχεία από τα $\{1,2,\ldots,n\}$ εκ των οποίων το ένα να είναι το

, και $\binom{n-1}{k}$ τρόποι να επιλέξω

στοιχεία από τα $\{1,2,\ldots,n\}$ χωρίς να επιλέξω το

.

Από εδώ βγαίνουν οι αναδρομικές σχέσεις: $A_{n+1} = A_n + xB_{n+1}$ και $B_{n+1} = B_n + A_n$ . Άρα

$\displaystyle \displaystyle{A_{n+2} = A_{n+1} + xB_{n+2} = A_{n+1} + xB_{n+1} + xA_{n+1} = A_{n+1} + (A_{n+1}-A_n) + xA_{n+1} = (x+2)A_{n+1} - A_n}$

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι $\displaystyle \lambda^2 - (x+2)\lambda + 1$ με ρίζες $\displaystyle \frac{x+2 \pm \sqrt{x(x+4)}}{2}$

Για $x = -4\sin^2{\vartheta}$ , μετά από πράξεις βγαίνει ότι οι ρίζες είναι οι $e^{\pm 2i\vartheta}$ .

Οπότε υπάρχουν σταθερές C,D

ώστε $A_n(x) = Ce^{2ni\vartheta} + De^{-2in\vartheta}$ για κάθε

. Οι περιπτώσεις n=0,1

δίνουν

και $Ce^{2i\vartheta} + De^{-2i\vartheta} = 1 -4\sin^2{\vartheta}$ . Η δεύτερη εξίσωση γίνεται $(C+D)\cos{2\vartheta} + (C-D)i\sin{2\vartheta} = 1-4\sin^2{\vartheta}$ . Λύνοντας το σύστημα καταλήγουμε στα $\displaystyle C = \frac{1+i\tan{\vartheta}}{2}$ και $\displaystyle D = \frac{1-i\tan{\vartheta}}{2}$

Άρα $\displaystyle A_n(x) = \cos(2n\vartheta) + i(\tan{\vartheta})(i\sin{2\vartheta}) = \frac{\cos{(2n\vartheta)}\cos{\vartheta}-\sin{\vartheta}\sin{(2n\vartheta)}}{\cos{\vartheta}} = \frac{\cos{(2n+1)\vartheta}}{\cos{\vartheta}}$

Επειδή A_n(x) = xF_n(x)+1

, καταλήγουμε στον τύπο που έγραψα στην πρώτη μου ανάρτηση.

#4

Δημήτρη σ' ευχαριστώ, όντως από πολυώνυμα Chebychev (αλλά και από κάτι άλλο) είχα ξεκινήσει, ύστερα όμως από μία μικρή τροποποίηση νόμιζα ότι έφτασα σε κάτι διαφορετικής 'τεχνοτροπίας'... (Βλέπε σχετική συζήτηση εδώ.)

Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Re: Συνδυαστικό άθροισμα με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση