Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!

#1

Για τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z

ισχύουν $|x|,|y|,|z|\geq 1$ και $x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0.$
Να βρεθεί το μέγιστο του αθροίσματος x+y+z.

#2

Θέτουμε $\displaystyle{a = x + \frac{1}{x},}$ $\displaystyle{b = y + \frac{1}{y}}$ και $\displaystyle{c = z + \frac{1}{z},}$ οπότε από την υπόθεση είναι $\displaystyle{a + b + c = 0.}$

Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ να είναι ομόσημοι. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{x > 0}$ και $\displaystyle{z < 0.}$ Τότε, είναι $\displaystyle{a = x + \frac{1}{x} \ge 2}$ και $\displaystyle{c = z + \frac{1}{z} \le - 2.}$

Έχουμε ότι:

$\displaystyle{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} - 4 = {a^2} - 4 \Rightarrow \left| {x - \frac{1}{x}} \right| = \sqrt {{a^2} - 4} \mathop \Rightarrow \limits^{x \ge \frac{1}{x}} x - \frac{1}{x} = \sqrt {{a^2} - 4} }$

και άρα

$\displaystyle{x = \frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} - 4} } \right).}$

Όμοια, βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{z = \frac{1}{2}\left( {c - \sqrt {{c^2} - 4} } \right).}$

Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle{y \ge 1,}$ τότε $\displaystyle{b = y + \frac{1}{y} \ge 2}$ και $\displaystyle{y = \frac{1}{2}\left( {b + \sqrt {{b^2} - 4} } \right)}$ κι επομένως

$\displaystyle{x + y + z = \frac{1}{2}\left( {a + b + c + \sqrt {{a^2} - 4} + \sqrt {{b^2} - 4} - \sqrt {{c^2} - 4} } \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow x + y + z = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{a^2} - 4} + \sqrt {{b^2} - 4} - \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4} } \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow x + y + z < 0,}$

αφού ισοδύναμα:

$\displaystyle{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4} > \sqrt {{a^2} - 4} + \sqrt {{b^2} - 4} \Leftrightarrow 2ab > 2\sqrt {\left( {{a^2} - 4} \right)\left( {{b^2} - 4} \right)} - 4 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow ab + 2 > \sqrt {\left( {{a^2} - 4} \right)\left( {{b^2} - 4} \right)} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + ab - 3 > 0,}$

που ισχύει.

$\bullet$ Αν $\displaystyle{y \le - 1,}$ τότε $\displaystyle{b = y + \frac{1}{y} \le - 2}$ και $\displaystyle{y = \frac{1}{2}\left( {b - \sqrt {{b^2} - 4} } \right),}$ οπότε

$\displaystyle{x + y + z = \frac{1}{2}\left( {a + b + c + \sqrt {{a^2} - 4} - \sqrt {{b^2} - 4} - \sqrt {{c^2} - 4} } \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow x + y + z = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{\left( {\left| b \right| + \left| c \right|} \right)}^2} - 4} - \sqrt {{{\left| b \right|}^2} - 4} - \sqrt {{{\left| c \right|}^2} - 4} } \right).}$

Παρατηρούμε τώρα ότι:

$\displaystyle{\sqrt {{{\left| b \right|}^2} - 4} + \sqrt {{{\left| c \right|}^2} - 4} \ge \sqrt {{{\left( {\left| b \right| + \left| c \right| - 2} \right)}^2} - 4}.}$

Πράγματι, ισοδύναμα έχουμε:

$\displaystyle{\sqrt {{{\left| b \right|}^2} - 4} + \sqrt {{{\left| c \right|}^2} - 4} \ge \sqrt {{{\left( {\left| b \right| + \left| c \right| - 2} \right)}^2} - 4} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {b^2} - 4 + {c^2} - 4 + 2\sqrt {\left( {{b^2} - 4} \right)\left( {{c^2} - 4} \right)} \ge {b^2} + {c^2} + 4 + 2\left| {bc} \right| - 4\left| b \right| - 4\left| c \right| - 4 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{b^2} - 4} \right)\left( {{c^2} - 4} \right)} \ge bc + 2b + 2c + 4 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {{b^2} - 4} \right)\left( {{c^2} - 4} \right) \ge {\left( {b + 2} \right)^2}{\left( {c + 2} \right)^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)\left[ {\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right) - \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow - 4\left( {b + c} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) \ge 0,}$

που ισχύει, με το ίσον αν και μόνο αν $\displaystyle{b = - 2}$ ή $\displaystyle{c = - 2.}$

Έτσι, έχουμε ότι:

$\displaystyle{x + y + z \le \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{\left( {\left| b \right| + \left| c \right|} \right)}^2} - 4} - \sqrt {{{\left( {\left| b \right| + \left| c \right| - 2} \right)}^2} - 4} } \right).}$

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 4} - \sqrt {{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 4} ,}$ με $\displaystyle{t \ge 4.}$ Για $\displaystyle{t > 4}$ είναι

$\displaystyle{f'\left( t \right) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} - 4} }} - \frac{{t - 2}}{{\sqrt {{t^2} - 4t} }}}$

και εύκολα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1,}$ που είναι αδύνατο. Άρα, η $\displaystyle{{f'}}$ διατηρεί πρόσημο στο $\displaystyle{\left({4, + \infty } \right),}$ κι αφού $\displaystyle{f'\left( 5 \right) = \frac{5}{{\sqrt {21} }} - \frac{3}{{\sqrt 5 }} < 0,}$ θα είναι $\displaystyle{f'\left( t \right) < 0}$ για κάθε $\displaystyle{t \in \left( {4, + \infty } \right).}$ Άρα, η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {4, + \infty } \right),}$ οπότε

$\displaystyle{x + y + z \le \frac{1}{2}f\left( {\left| b \right| + \left| c \right|} \right) \le \frac{1}{2}f\left( 4 \right) = \frac{1}{2}\sqrt {12} = \sqrt 3 ,}$

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{b = c = - 2,}$ οπότε και $\displaystyle{a = 4.}$ Στην περίπτωση αυτή είναι $\displaystyle{y = z = - 1}$ και $\displaystyle{x = 2 + \sqrt 3 }.$

Συμπεραίνουμε ότι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{x + y + z}$ είναι ίση με $\displaystyle{\boxed{\sqrt 3} }$ και λαμβάνεται για την τριάδα $\displaystyle{\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 + \sqrt 3 , - 1, - 1} \right)}$ καθώς και τις μεταθέσεις της.

Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!

Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!

Re: Χριστουγεννιάτικο μέγιστο!

Μέλη σε σύνδεση