Mathematics Today (1)

M.S.Vovos · #1

Έστω $\displaystyle{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{(k<n)}$ . Υποθέτουμε ότι οι τιμές των $\displaystyle{a_{k+1},\ldots ,a_{n}}$ είναι συγκεκριμένες. Πώς θα πρέπει να επιλέξουμε τις τιμές των $\displaystyle{a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ώστε να ελαχιστοποιείται το $\displaystyle{\sum_{i,j,i\neq j}\frac{a_{i}}{a_{j}}}$ ;

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 25, 2017 6:54 pm
Έστω $\displaystyle{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k},a_{k+1},\ldots ,a_{n}}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{(k<n)}$ . Υποθέτουμε ότι οι τιμές των $\displaystyle{a_{k+1},\ldots ,a_{n}}$ είναι συγκεκριμένες. Πώς θα πρέπει να επιλέξουμε τις τιμές των $\displaystyle{a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ώστε να ελαχιστοποιείται το $\displaystyle{\sum_{i,j,i\neq j}\frac{a_{i}}{a_{j}}}$ ;

Φιλικά,
Μάριος

Επαναφορά!

dement · #3

Ισχύει $\displaystyle \sum_{i<j\leqslant k} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) \geqslant k(k-1)$ (από ΑΜ-ΓΜ) με ισότητα αν και μόνο αν a_1 = a_2 = ... = a_k

.

Θέτουμε $\displaystyle r \equiv \sum_{i=k+1}^n a_i, \ t \equiv \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{a_i}$ . Τότε ισχύει $\displaystyle \sum_{i \leqslant k<j} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) = \sum_{i \leqslant k} \left( t a_i + \frac{r}{a_i} \right) \geqslant 2 k \sqrt{rt}$ με ισότητα αν και μόνο αν $\displaystyle a_1 = a_2 = ... = a_k = \sqrt{\frac{r}{t}}$ .

Τέλος, το $\displaystyle \sum_{k<i<j} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right)$ έχει τη σταθερή τιμή rt - n + k

.

Έτσι, η παράσταση παίρνει την ελάχιστη τιμή της $\displaystyle k(k-1) + 2 k \sqrt{rt} + rt - n + k = \left( k + \sqrt{rt} \right)^2 - n$ για $\displaystyle a_1 = a_2 = ... = a_k = \sqrt{\frac{r}{t}}$ .

#4

Δεν το είχα προσέξει ότι είχε απαντηθεί. Την αφήνω για τον κόπο μου. Ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτήν που δόθηκε.

Θέτω $\displaystyle x =a_1+\cdots,a_k, y=a_{k+1} + \cdots + a_{n}, z= \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_k}$ και $\displaystyle w = \frac{1}{a_{k+1}} + \cdots + \frac{1}{a_n}.$

Τα y,w

είναι σταθερά. Το άθροισμα

ισούται με

$\displaystyle S = (x+y)(z+w)-n = xz + (xw+yz) + yw - n$

Έχουμε $xz \geqslant k^2$ από την ανισότητα Αριθμητικοί-Αρμονικού μέσου. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $a_1 = \cdots = a_k$ .

Επίσης, $xw + yz \geqslant 2\sqrt{xyzw} \geqslant 2k\sqrt{yw}$ . Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $a_1 = \cdots = a_k$ και xw = yz

.

Καταλήγουμε στο ότι $S \geqslant k^2 + 2k\sqrt{yw} +yw - n$ . Μπορεί να επιτευχθεί η ισότητα αν (και μόνο αν) επιλέξουμε $a_1 = \cdots = a_k = \sqrt{y/w}$ .

Mathematics Today (1)

Mathematics Today (1)

Re: Mathematics Today (1)

Re: Mathematics Today (1)

Re: Mathematics Today (1)

Μέλη σε σύνδεση