Αριθμητική ακολουθία

dement · #1

Καλησπέρα σε όλους, το παρόν από το Invariants Society του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης.

Για φυσικό $n \geqslant 2$ ορίζουμε το f(n)

ως τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του

.

Έστω η ακολουθία $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ με $a_1 = 2, \ \ a_{n+1} = a_n + f(a_n)$ .

Να βρεθεί ο μέγιστος

με

.

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

ΛΗΜΜΑ:

Για κάθε τέλειο τετράγωνο πρώτου , p^2

, υπάρχει αντίστοιχος ίσος όρος της ακολουθίας.

Απόδειξη με επαγωγή

Έστω $p_{n}$ η ακολουθία των πρώτων αριθμών.

$p_{1}^2=a_{2}=4$

Αν $a_{k}=p_{n}^2$ , θα δείξω ότι $a_{k+2(p_{n+1}-p_{n})}=p_{n+1}^2$ .

Για κάθε m ,

με $k\leq m< k+p_{n+1}-p_{n}$ , είναι

$a_{m}=p_{n}(p_{n}+m-k)$ .

Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς $f(a_{m})=p_{n},\forall m$ .

Τελικά, $a_{k+p_{n+1}-p_{n}}=p_{n}p_{n+1}$ .

Για κάθε m ,

με $k+p_{n+1}-p_{n}\leq m< k+2(p_{n+1}-p_{n})$ , είναι

$a_{m}=p_{n+1}(m+2p_{n}-k-p_{n+1})$ .

Αυτό αποδεικνύεται με επαγωγή , καθώς $f(a_{m})=p_{n+1},\forall m$ .

Τελικά, $a_{k+2(p_{n+1}-p_{n})}=p_{n+1}^2$ .

Ερχόμαστε στο αρχικό πρόβλημα.

Παρατηρούμε ότι για να πάμε από το τέλειο τετράγωνο $p_{n}^2$ στο $p_{n+1}^2$ , προχωράμε κατά $2(p_{n+1}-p_{n})$
όρους.

Το μέγιστο τέλειο τετράγωνο πρώτου μέχρι το 10^4

είναι το

.

Για να μεταβούμε από το $a_{2}=2^2$ στο 97^2

, προχωρούμε κατά 2(97-91)+...+2(7-5)+2(5-3)+2(3-2)=2(97-2)=190

όρους.

Άρα, $a_{192}=97^2$

και παίρνουμε διαδοχικά,

$a_{193}=97\cdot 98,a_{194}=97\cdot 99,a_{195}=97\cdot 100,a_{196}=97\cdot 101,a_{197}=98\cdot 101,a_{198}=99\cdot 101,a_{199}=100\cdot 101$

Τελικά, ο ζητούμενος αριθμός n=198.

Έκανα κάποιες διορθώσεις στο τέλος της λύσης.Ευχαριστώ τον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη για την επισήμανση.

dement · #3

Προσοχή Κώστα, υπάρχει λαθάκι ακριβώς στο τέλος. Μετά το $97 \times 101$ δεν έχουμε 101^2

(διορθώθηκε).

ksofsa · #4

Κύριε Δημήτρη, σας ευχαριστώ για την επισήμανση του λάθους.Απροσεξία λόγω βιασύνης.Εξάλλου , το λάθος στο τέλος δεν είναι συμβατό με όσα γράφω παραπάνω για τη μετάβαση από το ένα τετράγωνο πρώτου στο επόμενο ( $97^2\rightarrow 101^2,8$ όροι μπροστά). Έκανα τη διόρθωση.Ελπίζω να είναι σωστό τώρα.

dement · #5

Τέλεια Κώστα.

abfx · #6

ksofsa έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 23, 2022 10:56 pm
Για κάθε με $k\leq m< k+p_{n+1}-p_{n}$ , είναι

$a_{m}=p_{n}(p_{n}+m-k)$ .

Πρακτικά ίδια ιδέα:

Παρατηρούμε ότι για κάθε $m\in\mathbb{N}$ υπάρχουν $a=p_n , b\in\{p_{n-1},p_{n-1}+1,\dots ,p_n,\dots p_{n+1}-1\}$ ,τέτοια ώστε:

m=a+b-2

και $a_m=a\cdot b$ .

Έτσι εύκολα θα βρούμε ότι $a_{198}=101\cdot 99<10^4<101\cdot 100=a_{199}$ .

Αριθμητική ακολουθία

Αριθμητική ακολουθία

Re: Αριθμητική ακολουθία

Re: Αριθμητική ακολουθία

Re: Αριθμητική ακολουθία

Re: Αριθμητική ακολουθία

Re: Αριθμητική ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση