Τέλειος κύβος

Chagi · #1

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2^n + 3^n

δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού

.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

Xriiiiistos · #2

Chagi έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού .

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

Η Άσκηση είναι απλή για n=1

άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για $n\geq 2$ , $2^{n}+3^{n}=k^{2}$ ΜΕ

περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το 2,3

οπότε έχουμε $2^{n}\equiv k^{2}\equiv 1(mod3)$ άρα

περιττός έστω n=2a+1

με

με θετικός ακέραιος τότε $2^{n}+3^{n}=2\cdot 4^{a}+3\cdot 9^{a}=k^{2}\Leftrightarrow 3\equiv k^{2}\equiv 1(mod4)$ άτοπο άρα δεν υπάρχει τέτοιο

Chagi · #3

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:39 pm

Chagi έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού .

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.
Η Άσκηση είναι απλή για άτοπο οπότε θα δουλέψουμε για $n\geq 2$ , $2^{n}+3^{n}=k^{2}$ ΜΕ περιττό ακέραιο που προφανώς δεν διαιρείται με το οπότε έχουμε $2^{n}\equiv k^{2}\equiv 1(mod3)$ άρα περιττός έστω με με θετικός ακέραιος τότε $2^{n}+3^{n}=2\cdot 4^{a}+3\cdot 9^{a}=k^{2}\Leftrightarrow 3\equiv k^{2}\equiv 1(mod4)$ άτοπο άρα δεν υπάρχει τέτοιο

Σωστά αλλά, θέλουμε κύβο όχι τετράγωνο.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Chagi έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού .

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

Για

πράγματι δεν έχουμε κύβο.

Για $n\geq 2$ , παίρνοντας $\pmod{9}$ , προκύπτει ότι $2^n\equiv \pm 1 \pmod{9}$ , άρα εύκολα προκύπτει ότι το

διαιρείται με το

.

Από το τελευταίο θεώρημα του Fermat

έχουμε άτοπο (μην με κράξετε

), άρα δεν έχουμε λύσεις.

Αλλιώς:

Έχουμε n=3k

:

$m^3=(2^k)^3+(3^k)^3\Leftrightarrow (m-2^k)(m^2+4^k+m\cdot 2^k)=(3^k)^3$ .

Άρα πρέπει m-2^k=3^l

, $l\geq 0$ και $m^2+4^k+m\cdot 2^k=3^v$ , με v>1

, αφού $m^2+4^k+m\cdot 2^k>3$ .

Θέτοντας m=3^l+2^k

, έχουμε $(3^l+2^k)^2+4^k+(3^l+2^k)2^k=3^v\Leftrightarrow 9^l+3\cdot 4^{k}+3\cdot 2^k3^l=3^v, v>1$ .

Πρέπει το $9^l+3\cdot 4^{k}+3\cdot 2^k3^l$ να διαιρείται με το

. Αν

τότε δεν διαιρείται με το

, ενώ αν

τότε είναι ισοϋπόλοιπο με $3 \pmod{9}$ .

Άρα δεν έχουμε λύσεις...

min## · #5

Πολλά θες

Πάντως με αυτήν την παρατήρηση(ότι 3/n

) το ζητούμενο είναι άμεσο.Αν n=2k

με

και το άλλο του Φερμά καταλήγουμε με κυβικά υπόλοιπα σε άτοπο.Ομοίως και για

περιττό..

Τέλειος κύβος

Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Re: Τέλειος κύβος

Μέλη σε σύνδεση