Γεωμετρικός τόπος στον χώρο.

S.E.Louridas · #1

Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων ομοιοθεσίας που δίνεται ο λόγος ομοιότητας και όταν γνωρίζουμε ότι το ομόλογο δοθείσας ευθείας τέμνει άλλη δοθείσα ευθεία

#2

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τετ Απρ 10, 2024 12:00 am
Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων ομοιοθεσίας που δίνεται ο λόγος ομοιότητας και όταν γνωρίζουμε ότι το ομόλογο δοθείσας ευθείας τέμνει άλλη δοθείσα ευθεία

Σωτήρη καλημέρα. Εύχομαι να είσαι καλά και ό,τι το καλύτερο...

Για την ανωτέρω άσκηση διακρίνουμε δυο περιπτώσεις.

1η περίπτωση

Οι ευθείες $\displaystyle{(d), (d') }$ να είναι συνεπίπεδες.

και τότε έχουμε δυο υποπεριπτώσεις:

1α) Οι ευθείες $\displaystyle{(d), (d`)}$ να τέμνονται στο σταθερό σημείο $\displaystyle{S}$

και

1β) Οι ευθείες $\displaystyle{(d), (d')}$ να είναι παράλληλες.

2η περίπτωση

Οι ευθείες $\displaystyle{(d),(d') }$ να είναι ασύμβατες.

Εξετάζουμε κάθε μια περίπτωση χωριστά.

1η περίπτωση

1α) Έστω ότι οι ευθείες $\displaystyle{(d), (d') }$ τέμνονται σε ένα σημείο $\displaystyle{S}$ όπως αυτό φαίνεται στο

ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμετρικός τόπος 11.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Στο σχήμα αυτό αν θεωρήσουμε ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{O}$ του επιπέδου των ευθειών $\displaystyle{d,d'}$ ως κέντρο ομοιοθεσίας

και τον σταθερό λόγο $\displaystyle{c}$ της ομοιοθεσίας, τότε η εικόνα $\displaystyle{e}$ της δοθείσας $\displaystyle{d}$ θα είναι μια παράλληλη

ευθεία προς την $\displaystyle{d}$ η οποία ασφαλώς και θα τέμνει την άλλη ευθεία σε ένα σημείο $\displaystyle{S' }$ .

Άρα στην περίπτωση αυτή ο ζητούμενος γ. τόπος είναι όλο το επίπεδο το οποίο ορίζουν οι δοθείσες

ευθείες $\displaystyle{ d, d' }$ .

1b) Έστω ότι οι ευθείες είναι παράλληλες. Τότε έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Γ.τόπος 12.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Στην περίπτωση αυτή για να ορίσουμε το κέντρο της ομοιοθεσίας με τον δοθέντα λόγο $\displaystyle{c}$ θεωρούμε

τη σχέση:

$\displaystyle{OA=\frac{m}{c-1}, \ \ (1) }$

όπου $\displaystyle{m}$ η απόσταση των παραλλήλων $\displaystyle{d,d' }$ και η οποία προκύπτει εύκολα

από τη σχέση της ομοιοθεσίας:

$\displaystyle{(OB)=c(OA) \ \ (2) }$

Από τη σχέση (1) προκύπτε ότι το ζητούμενο κέντρο ομοιθεσίας κινείται επί της

παραλλήλου προς την δοθείσα $\displaystyle{d}$ και σε απόσταση σταθερή.

Άρα ο ζητούμενος γ. τόπος είναι η παράλληλη προς την $\displaystyle{d}$ , δηλαδή η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ .

Παρατήρηση:

Για να υπάρχει ο τόπος αυτός θα πρέπει ο αρχικά δοθείς λόγος της ομοιοθεσίας να

ισούται με αυτόν του τύπου (1)

2η περίπτωση

Είναι η περίπτωση όπου οι ευθείες $\displaystyle{d, d' }$ είνα ασύμβατες. Τότε εργαζόμαστε

στο ακόλουθο σχήμα:

: Γ. τόπος 10.png (43.07 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Για την εύρεση του κέντρου της ομοιοθεσίας θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{B}$ επί της $\displaystyle{d' }$

και στη συνέχεια φέρουμε την παράλληλη $\displaystyle{ m }$ προς την $\displaystyle{d}$ .

Στη συνέχεια θεωρώντας και πάλι την απόσταση $\displaystyle{w }$ των παραλλήλων $\displaystyle{d, m }$ βρίσκουμε

το κέντρο $\displaystyle{O}$ της ομοιοθεσίας που οδηγεί την $\displaystyle{d}$ στην $\displaystyle{m}$ από τον τύπο:

$\displaystyle{ (OA)=\frac{w}{c-1} \ \ (3) }$

Αν τώρα όμοια θεωρήσουμε αντί του $\displaystyle{B}$ ένα άλλο σημείο $\displaystyle{B_o}$ της $\displaystyle{d' }$ και επί της

παραλλήλου $\displaystyle{n}$ προς την $\displaystyle{d}$ θεωρήσουμε το σημείο $\displaystyle{B_1 }$ , βρίσκουμε όμοια το νέο κέντρο

$\displaystyle{O_1 }$ της ομοιοθεσίας που οδηγεί την $\displaystyle{d}$ επί της $\displaystyle{ n}$ .

Έτσι για τα δυο αυτά κέντρα ισχύει:

$\displaystyle{ (OB)=c(OA) \ \ (4) }$

και

$\displaystyle{(O_1B_1)=c(O_1A_1) \ \ (5) }$

Από τις (4) και (5) και από το αντίστροφο θεώρημα του Θαλή στο χώρο προκύπτει

ότι τα σημεία $\displaystyle{O,O_1}$ κινούνται σε παράλληλο επίπεδο προς το επίπεδο των

ευθειών $\displaystyle{d' , m}$ . Το επίπεδο αυτού του γ. τόπου ορίζεται από τη σχέση (3)

στην οποία υπεισέρχεται ο σταθερός λόγος $\displaystyle{c}$ ο οποίος, όπως και στις άλλες

περιπτώσεις θεωρήθηκε $\displaystyle{c>1}$ .

Και στην περίπτωση αυτή ισχύει η παρατήρηση της περίπτωσης 1b.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #3

Καλή Ανάσταση Κώστα για εσένα και τους Ανθρώπους σου.
Πάντα όταν προτείνω τέτοια θέματα έχω την κρυφή ελπίδα να τα δει ο Κώστας Δόρτσιος και να παρέμβει με αυτό τον εκπληκτικό τρόπο και σχεδόν πάντα η ελπίδα μετουσιώνεται από τον Κώστα σε πράξη Διαμάντι.

Γεωμετρικός τόπος στον χώρο.

Γεωμετρικός τόπος στον χώρο.

Re: Γεωμετρικός τόπος στον χώρο.

Re: Γεωμετρικός τόπος στον χώρο.

Μέλη σε σύνδεση