Καθετότητα!
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
Καθετότητα!
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με έκκεντρο η εσωτερική διχοτόμος του το ύψος του και η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του. Ο κύκλος επανατέμνει την πλευρά στο σημείο και ο κύκλος επανατέμνει την πλευρά στο σημείο Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου επανατέμνει το ύψος στο σημείο ενώ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου επανατέμνει την πλευρά στο σημείο Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Καθετότητα!
Μια προσπάθεια:
Θα δείξουμε αρχικά ότι ισχύει (αναρωτιέμαι αν, που σίγουρα, υπάρχουν κομψότερες λύσεις για αυτό γιατί μου φαίνεται και πιο γενικό πρόβλημα).
Επειδή , σύμφωνα με γνωστό λήμμα αρκεί να δείξουμε ότι .
Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε διαδοχικά:
.
Από την άλλη:
.
Επειδή τα και είναι όμοια θα είναι
, άρα .
Όμως:
Άρα:
, οπότε τελικά , όπως θέλαμε.
Επομένως άρα .
Άρα, αφού τα τρίγωνα και είναι όμοια θα ισχύει , άρα .
Για το άλλο σκέλος,
εύκολα παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα και τα είναι ίσα (ΠΓΠ), οπότε .
Επίσης με μεταφορές γωνιών και άρα
Οι γωνίες δηλαδή και είναι ίσες και βαίνουν στα ίσα τόξα των κύκλων αντίστοιχα, άρα οι κύκλοι είναι ίσοι.
Άρα και (ίσα τόξα ), οπότε και άρα .
Επειδή η διχοτομεί τη γωνία του ισοσκελούς θα είναι κάθετη στην .
Όμοια η είναι κάθετη στην , άρα η είναι κάθετη στην .
Όμως , επομένως και .
Tελικά .
Θα δείξουμε αρχικά ότι ισχύει (αναρωτιέμαι αν, που σίγουρα, υπάρχουν κομψότερες λύσεις για αυτό γιατί μου φαίνεται και πιο γενικό πρόβλημα).
Επειδή , σύμφωνα με γνωστό λήμμα αρκεί να δείξουμε ότι .
Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε διαδοχικά:
.
Από την άλλη:
.
Επειδή τα και είναι όμοια θα είναι
, άρα .
Όμως:
Άρα:
, οπότε τελικά , όπως θέλαμε.
Επομένως άρα .
Άρα, αφού τα τρίγωνα και είναι όμοια θα ισχύει , άρα .
Για το άλλο σκέλος,
εύκολα παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα και τα είναι ίσα (ΠΓΠ), οπότε .
Επίσης με μεταφορές γωνιών και άρα
Οι γωνίες δηλαδή και είναι ίσες και βαίνουν στα ίσα τόξα των κύκλων αντίστοιχα, άρα οι κύκλοι είναι ίσοι.
Άρα και (ίσα τόξα ), οπότε και άρα .
Επειδή η διχοτομεί τη γωνία του ισοσκελούς θα είναι κάθετη στην .
Όμοια η είναι κάθετη στην , άρα η είναι κάθετη στην .
Όμως , επομένως και .
Tελικά .
Γιώργος Κοτσάλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες