ΟΜΟΡΦΟ; minimum

S.E.Louridas · #1

Το προτείνουμε και ... ανεξάρτητα:

Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε $MB\left | \right |OK, MA\left | \right |OL.$ Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.

#2

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 10, 2023 6:55 pm
Το προτείνουμε και ... ανεξάρτητα:

Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε $MB\left | \right |OK, MA\left | \right |OL.$ Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 10, 2023 6:55 pm
Το προτείνουμε και ... ανεξάρτητα:

Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε $MB\left | \right |OK, MA\left | \right |OL.$ Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.

Έστω $\displaystyle OK = k,OL = l,KL = m.$ Θέτω AM=OB=x, BM=OA=y

και με νόμο συνημιτόνου στο OAB

είναι

: ΟΜΟΡΦΟ min.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 1207 φορές

$\displaystyle A{B^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\cos \theta = {x^2} + {y^2} - 2xy \cdot \frac{{{k^2} + {l^2} - {m^2}}}{{2kl}}$

Αλλά, $\displaystyle \frac{x}{l} = \frac{{KM}}{m},\frac{y}{k} = \frac{{LM}}{m} \Rightarrow \frac{x}{l} + \frac{y}{k} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{k(l - x)}}{l}}$ και με απαλοιφή του

$\displaystyle AB = \frac{1}{l}\sqrt {(2{l^2} + 2{k^2} - {m^2}){x^2} - l(3{k^2} + {l^2} - {m^2})x + {k^2}{l^2}}$

To υπόρριζο είναι τριώνυμο και παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle x = \frac{{l(3{k^2} + {l^2} - {m^2})}}{{2(2{l^2} + 2{k^2} - {m^2})}},$ απ' όπου $\boxed{KM = \frac{{m(3{k^2} + {l^2} - {m^2})}}{{2(2{l^2} + 2{k^2} - {m^2})}}}$

S.E.Louridas · #4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 10, 2023 6:55 pm

Δίνεται τρίγωνο Επί του ευθύγραμμου τμήματος κινείται σημείο Θεωρούμε σημεία αντίστοιχα επί των πλευρών , ώστε $MB\left | \right |OK, MA\left | \right |OL.$ Προσδιορίστε τη θέση του , ώστε το να είναι ελάχιστο.

Μετά από την άριστη λύση του Γιώργου ας παρουσιάσω το δικό μου σκεπτικό με την «αυτοπίεση» να το εντάξω θεωρητικά στο θεώρημα του MacLaurin (*).

Έχουμε ότι: $\displaystyle{\frac{{MA}}{{OK}} + \frac{{MB}}{{OK}} = 1 \Rightarrow nMA + mMB = mnKL = a,\;{{\alpha \nu }}\;m = \frac{{OL}}{{KL}},\;n = \frac{{OK}}{{KL}}.}$
Τότε, από το θεώρημα του MacLaurin, ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο OAB

θα διέρχεται από σταθερό σημείο

της σταθερής ευθείας
εσωτερικά της γωνίας $\displaystyle{\angle KOL}$ , που περνά από το σημείο

και είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ο λόγος των αποστάσεων τους από
τις ευθείες OK, OL

είναι $\displaystyle{\frac{m}{n}.}$
Επομένως και επειδή η γωνία $\angle KOL$ είναι δεδομένη, το

θα γίνει ελάχιστο όταν ο κύκλος που το προσδιορίζει θα έχει διάμετρο OQ.

Μόλις βέβαια προσδιοριστεί το

, άμεσα προσδιορίζεται και το σημείο

: minim.png (55.68 KiB) Προβλήθηκε 1190 φορές

(*) viewtopic.php?f=180&t=74265

#5

Γεια σου Σωτήρη!

Να παρατηρήσω (δεν ξέρω κατά πόσο βοηθάει) ότι τη στιγμή της ελαχιστοποίησης η

είναι κάθετη στη διάμεσο του OKL

που άγεται από την κορυφή

S.E.Louridas · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 11, 2023 7:00 pm
Γεια σου Σωτήρη!

Να παρατηρήσω (δεν ξέρω κατά πόσο βοηθάει) ότι τη στιγμή της ελαχιστοποίησης η
είναι κάθετη στη διάμεσο του που άγεται από την κορυφή

Πολύ καλή παρατήρηση που βοηθά κατασκευαστικά.

#7

Δίνω και την κατασκευή.

: ΟΜΟΡΦΟ min.2.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 1132 φορές

Έστω

το μέσο του

και μία ευθεία κάθετη στην

με τα σημεία της A_1, B_1

πάνω στις

αντίστοιχα. Αν οι παράλληλες από τα A_1, B_1

στις

τέμνονται στο

τότε η

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

ΟΜΟΡΦΟ; minimum

ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Re: ΟΜΟΡΦΟ; minimum

Μέλη σε σύνδεση