Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

sakis1963 · #1

: 2022.007.9278 Quadrilateral Complete mathematica.PNG (58.92 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Εστω, εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

, σε κύκλο κέντρου

,

$P\equiv AB\cap CD$ ,

$Q\equiv AD\cap BC$ ,

$M\equiv AC\cap BD$ και

το μέσον του

α. Δείξτε οτι OP=OQ

τότε και μόνον τότε αν O, M, N

είναι συνευθειακά

β. Βρείτε έναν τρόπο κατασκευής ενός τέτοιου τετραπλεύρου

#2

sakis1963 έγραψε:Εστω, εγγεγραμμένο τετράπλευρο , σε κύκλο κέντρου και έστω $P\equiv AB\cap CD$ και $Q\equiv AD\cap BC$

και $M\equiv AC\cap BD$ και το μέσον του .

α. Δείξτε οτι τότε και μόνον τότε αν είναι συνευθειακά.

β. Βρείτε έναν τρόπο κατασκευής ενός τέτοιου τετραπλεύρου.

Ας δούμε έναν τρόπο κατασκευής ενός τετραπλέυρου ABCD

, με τα στοιχεία της εκφώνησης.

$\bullet$ Έστω (O)

, δοσμένος κύκλος με διάμετρο

και ας είναι

τυχόν σημείο μεταξύ των των $O,\ T,$ όπου

είναι το κέντρο του (O)

.

Επί της ευθείας

κατασκευάζουμε το σημείο

, ως το αρμονικό συζυγές του

, ως προς τα σημεία $S,\ T$ ( γνωστή κατασκευή ), το οποίο βρίσκεται στην προέκταση του

προς το μέρος του

, λόγω

.

Η δια του σημείου

ευθεία κάθετη επί την

, τέμνει τον δοσμένο κύκλο (O)

στα σημεία $K,\ L$ και έστω τα σημεία $P\equiv (\epsilon)\cap SK$ και $Q\equiv (\epsilon)\cap SL$ , όπου $(\epsilon)$ είναι η δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

.

Από $KL\parallel PQ$ και $MK = ML\Rightarrow$ NP = NQ

και άρα έχουμε $OP = OQ\ \ \ ,(1)$

: Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο.; f=181 t=73932.PNG (42.15 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

$\bullet$ Έστω

τυχόν σημείο του τόξου $\overset\frown {TL}$ που δεν περιέχει τα σημεία $K,\ S$ και έστω τα σημεία $A\equiv (O)\cap QD$ και $B\equiv (O)\cap PA$ και $C\equiv (O)\cap PD$ .

Από $P\equiv AB\cap CD$ και $P\in (\epsilon)\perp ON$ , προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων $AC,\ BD$ του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABCD

, ταυτίζεται με το σημείο

, αφού η ευθεία $(\epsilon)$ είναι η ( εκ κατασκευής ) Πολική ευθεία του σημείου

ως προς τον κύκλο (O)

, λόγω της αρμονικής σημειοσειράς $S,\ M,\ T,\ N$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Τέλος, στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

με $AC\cap BD\equiv M$ και $Q\equiv (\epsilon)\cap AD$ , συμπεραίνεται ότι $BC\cap (\epsilon)\equiv Q$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Re: Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση