Λημνίσκος από λόγο εμβαδών

sakis1963 · #1

: 2023.03.01.FB11866.jpg mathematica.png (27.96 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Ας είναι τρίγωνο ABC

,

το μέσον της

και

το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου της $\hat{A}$ .

Ο κύκλος (AMD)

τέμνει τις AB, AC

στα σημεία E, Z

αντίστοιχα.

α. δείξτε ότι ο λόγος των εμβαδών $k=\frac{(EBM)+(ZMC)}{(ABC)}=\frac{a^{2}}{4bc}$

b. αν k=1

και θεωρώντας σταθερή την BC=a

, δείξτε οτι ο γ.τ. του

είναι λημνίσκος

σημείωση: το πρόβλημα διατυπώθηκε στην τελική του μορφή, σε συνεργασία με τον ισπανό γεωμέτρη Francisco Javier García Capitán

#2

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 18, 2023 3:10 pm
2023.03.01.FB11866.jpg mathematica.png

Ας είναι τρίγωνο , το μέσον της και το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου της $\hat{A}$ .

Ο κύκλος τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα.

α. δείξτε ότι ο λόγος των εμβαδών $k=\frac{(EBM)+(ZMC)}{(ABC)}=\frac{a^{2}}{4bc}$

b. αν και θεωρώντας σταθερή την , δείξτε οτι ο γ.τ. του είναι λημνίσκος

σημείωση: το πρόβλημα διατυπώθηκε στην τελική του μορφή, σε συνεργασία με τον ισπανό γεωμέτρη Francisco Javier García Capitán

α)_

είναι οι προβολές των E, A, Z

αντίστοιχα στην

και έστω

$\boxed{\frac{{(EBM) + (ZMC)}}{{(ABC)}} = \frac{{ax + ay}}{{2ah}} = \frac{{x + y}}{{2h}}}$ (1)

: Λημνίσκος.png (15.64 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} BE \cdot c = BM \cdot BD \hfill \\ CZ \cdot b = CD \cdot CM \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{BE}}{{CZ}} \cdot \frac{c}{b} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow$ $\boxed{BE=CZ}$

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{h} = \frac{{BE}}{c} \hfill \\ \hfill \\ \frac{y}{h} = \frac{{CZ}}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{x + y}}{h} = \frac{{BE \cdot b + CZ \cdot c}}{{bc}} = \frac{{CZ \cdot b + BE \cdot c}}{{bc}} = \frac{{BM(BD + CD)}}{{bc}} = \frac{{{a^2}}}{{2bc}}$

και από την (1),

προκύπτει το ζητούμενο $\boxed{k=\dfrac{a^2}{4bc}}$

β) Έστω $M(0,0), A(x,y), B(-\dfrac{a}{2},0), C(\dfrac{a}{2},0).$ Επειδή k=1

θα είναι

$\displaystyle 16{b^2}{c^2} = {a^4} \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x - \frac{a}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \right]\left[ {{{\left( {x + \frac{a}{2}} \right)}^2} + {y^2}} \right] = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^4}$ που είναι η εξίσωση του λημνίσκου.

sakis1963 · #3

: 2023.03.01.FB11866 study by FJGC mathematica.png (125.21 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Παραθέτω τη σπουδή του Francisco Javier Garcia Capitan

Λημνίσκος από λόγο εμβαδών

Λημνίσκος από λόγο εμβαδών

Re: Λημνίσκος από λόγο εμβαδών

Re: Λημνίσκος από λόγο εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση