Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

sakis1963 · #1

: 2020.120.FB6703 - Copy.jpg (37.77 KiB) Προβλήθηκε 905 φορές

Η δια του έκκεντρου

παράλληλη προς την υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου ABC

,

τέμνει κατά σειρά τον περίκυκλό του, την

, την

και ξανά τον περίκυκλο, στα σημεία K, L, M, N

Εστω

και

.

Δείξτε οτι x²<2mn

#2

Από την ομοιότητα των τριγώνων KLB, ALN

προκύπτει η αναλογία $\frac{x}{m}=\frac{AN}{AL}$ . Ομοίως έχουμε την αναλογία $\frac{x}{n}=\frac{AK}{AM}$ .
Επομένως έχουμε:
$x^2\leq mn\Leftrightarrow \dfrac{x}{m} \dfrac{x}{n}\leq 2\Leftrightarrow \frac{AK}{AM}\frac{AN}{AL}\leq 2\Leftrightarrow AK \cdot AN \leq 2AM\cdot AN\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \dfrac{2(AKN)}{sin\angle{KAN}}\leq 4(AML)\Leftrightarrow \dfrac{KN}{sin\angle{KAN}}\leq 2ML\Leftrightarrow BC\leq 2ML$

(καθώς τα τρίγωνα AKN, AML

έχουν κοινό ύψος και με Ν. ημιτόνων όπου BC=2R

).
Τέλος, αν θεωρήσουμε την διχοτόμο

(το

ανήκει στην

), από την σχέση $\frac{AI}{ID}=\frac{b+c}{a}>1$ προκύπτει άμεσα ότι $ML\geq \frac{BC}{2}$ και έχουμε τελειώσει.

STOPJOHN · #3

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 01, 2022 9:56 pm
2020.120.FB6703 - Copy.jpg
Η δια του έκκεντρου παράλληλη προς την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ,

τέμνει κατά σειρά τον περίκυκλό του, την , την και ξανά τον περίκυκλο, στα σημεία

Εστω και .

Δείξτε οτι

$LM//BC\Rightarrow \dfrac{AL}{c}=\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{AI}{AI+ID},(1),$

Από το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο

$ABC,\dfrac{AI}{ID}=\dfrac{c+b}{a},(2), (1),(2)\Rightarrow AL=\dfrac{c(c+b)}{a+c+b},(3)$

Τα τρίγωνα AKB,AMN

είναι όμοια γιατί , $\hat{KAB}=\hat{NAC},\hat{KBA}=\hat{KNA},$

Οπότε $\dfrac{x}{n}=\dfrac{c}{AN},(4),$ ,Ομοίως τα τρίγωνα ACN,AKL

είναι όμοια

άρα $\dfrac{x}{m}=\dfrac{b}{AK},(5),$ $(4),(5)\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{mn}=\dfrac{c.b}{AK.AN}$

Δηλαδή θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{b.c}{AK.AN}< 2\Leftrightarrow 2AK.AN> b.c$

είναι γνωστό ότι $AK.AN=2R.AE,2aAE> cb,\dfrac{AE}{AJ}=\dfrac{AL}{c},$

και λόγω της $(3),AE=\upsilon _{a}.\dfrac{b+c}{a+b+c}$

και η απποδεικτέα γίνεται

$2a\upsilon _{a}\dfrac{b+c}{a+b+c}> b.c\Leftrightarrow 2bc\dfrac{b+c}{a+b+c }> cb\Leftrightarrow b+c> a$ ισχύει από την τριγωνική ανισότητα

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση