Σταθερό γινόμενο και τόπος

#1

: Σταθερό γινόμενο και τόπος.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

Στη διάμετρο

ενός κύκλου (O, r)

θεωρούμε ένα σταθερό σημείο

ώστε

και έστω

μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το

Η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει τις BD, BE

στα

αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο MDEN

είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο $AM\cdot AN$ είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής DE.

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου

του τετραπλεύρου MDEN.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 1:37 pm
Σταθερό γινόμενο και τόπος.png
Στη διάμετρο ενός κύκλου θεωρούμε ένα σταθερό σημείο ώστε και έστω μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο $AM\cdot AN$ είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου του τετραπλεύρου

Το α) βγαίνει με απλό angle-chasing.
Είναι
$\angle{ANE}=\angle{AEN}-\angle{EAN}=90-\angle{EAN}=\angle{ADB}-\angle{ADE}=\angle{BDE}$ ,άρα MDEN

εγγράψιμο.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 02, 2020 1:37 pm
Σταθερό γινόμενο και τόπος.png
Στη διάμετρο ενός κύκλου θεωρούμε ένα σταθερό σημείο ώστε και έστω μία μεταβλητή

χορδή που διέρχεται από το Η εφαπτομένη του κύκλου στο τέμνει τις στα αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

β) Να δείξετε ότι το γινόμενο $AM\cdot AN$ είναι σταθερό ανεξάρτητο από τη θέση της χορδής

γ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του περίκεντρου του τετραπλεύρου

Αφήνω το α αφού το έγραψε ο Δημήτρης πιο πάνω

β) Είναι $\rm AN=AB\tan \angle ABN=AB\cdot \dfrac{AE}{EB}$ και ομοίως $\rm AM=AB\cdot \dfrac{AD}{ED}$ .
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\rm AB^2\cdot \dfrac{AE\cdot AD}{EB\cdot BD}$ σταθερό.Αφού $\rm AB$ σταθερό και από γνωστό λήμμα είναι $\rm \dfrac{AE\cdot AD}{EB\cdot BD}=\dfrac{AS}{SB}=stathero$ το ζητούμενο έπεται.
γ)Η δύναμη του $\rm A$ ως προς τον $\rm (M,D,E,N)$ είναι $\rm AN\cdot AM=AB^2\cdot \dfrac{AS}{SB}=4r^2\dfrac{d}{2r-d}$ άρα αν $\rm R$ η ακτίνα του $\rm (M,D,E,N)$ τότε $\rm R^2-AK^2=4r^2\dfrac{d}{2r-d}$ .Επίσης $\rm BD\cdot BM=AB^2=4r^2$ άρα $\rm KB^2-R^2=4r^2$ .
Είναι $\rm KB^2-KA^2=R^2+4r^2-R^2+4r^2\dfrac {d}{2r-d}=\dfrac{8r^3}{2r-d}$ .Αν λοιπόν $\rm K'$ η προβολή του $\rm K$ στην $\rm AB$ τότε από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων θα είναι $\rm \dfrac{8r^3}{2r-d}=2\cdot 2r \cdot OK'$ από όπου $\rm OK'=\dfrac{2r^2}{2r-d}$ .Είναι λοιπόν $\rm K'$ σταθερό που δείχνει πως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η κάθετη στην $\rm AB$ που απέχει από το $\rm O$ απόσταση $\rm \dfrac{2r^2}{2r-d}$ προς το $\rm A.$

Σταθερό γινόμενο και τόπος

Σταθερό γινόμενο και τόπος

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

Μέλη σε σύνδεση