Μέγιστο ορθογώνιο 2

KARKAR · #1

: Μέγιστο ορθογώνιο.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Ορθογώνιο τρίγωνο DEZ

, με κάθετες πλευρές DE=12 , EZ=5

είναι τοποθετημένο

μέσα σε ορθογώνιο ABCD

, όπως φαίνεται στο σχήμα . Υπολογίστε το : $(ABCD)_{max}$

#2

KARKAR έγραψε:Μέγιστο ορθογώνιο.pngΟρθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές είναι τοποθετημένο μέσα σε ορθογώνιο , όπως φαίνεται στο σχήμα . Υπολογίστε το : $(ABCD)_{max}$

Έστω $\angle ADE=\omega ,\angle CDZ=\theta ,\angle EDZ=t$ . . Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\vartriangle DEZ\Rightarrow \ldots DZ=13$ .

Από τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle ADE,\vartriangle CDZ$ ισχύει $AD = 12\cos \omega \;\& \;DC = 13\cos \theta$ .

$\left( {ABCD} \right) = AD \cdot DC = 78 \cdot 2\cos \omega \cdot \cos \theta =$ $78 \cdot \left[ {\cos \left( {\omega + \theta } \right) + \cos \left( {\omega - \theta } \right)} \right] =$ $78 \cdot \left[ {\cos \left( {{{90}^0} - t} \right) + \cos \left( {\omega - \theta } \right)} \right] =$

$78 \cdot \left[ {\sin t + \cos \left( {\omega - \theta } \right)} \right] = 78 \cdot \left[ {\dfrac{5}{{13}} + \cos \left( {\omega - \theta } \right)} \right]$ $=30 + 78\cos \left( {\omega - \theta } \right) \leqslant 30 + 78 = 108 \Rightarrow \boxed{max\left( {ABCD} \right) = 108}$

για $\cos \left( {\omega - \theta } \right) = 1 \Leftrightarrow \ldots \omega = \theta$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστει.

Στάθης

sakis1963 · #3

Σε σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

, η κορυφή

βρίσκεται πάντα στην ευθεία $y=\dfrac{12}{5}x$ (αφού EZCD

εγγράψιμο)

Αν BC=b

τότε το $C(\dfrac{5}{12}b, b)$ και το

που είναι τομή της y=b

και του κύκλου x^2+y^2=12^2

είναι $D(-\sqrt{12^2-b^2}, b)$

Αρα $(ABCD)=(\sqrt{12^2-b^2}+\dfrac{5}{12}b)b$ δηλ. $E(b)=b\sqrt{12^2-b^2}+\dfrac{5}{12}b^2$ ,

που έχει παράγωγο $E'(b)=\sqrt{12^2-b^2}-\dfrac{b^2}{\sqrt{12^2-b^2}}+\dfrac{5}{6}b$ που μηδενίζεται για $b=\dfrac{36}{\sqrt{13}}$ όπου η E(b)

έχει μέγιστο $E_{max}=108$

#4

KARKAR έγραψε:Μέγιστο ορθογώνιο.pngΟρθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές είναι τοποθετημένο

μέσα σε ορθογώνιο , όπως φαίνεται στο σχήμα . Υπολογίστε το : $(ABCD)_{max}$

Θέτω

: Μέγιστο ορθογώνιο 2.png (8.93 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα AED, BZE:

$\displaystyle{\frac{b}{{a - x}} = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow a = x + \frac{{5\sqrt {144 - {x^2}} }}{{12}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{ab = x\sqrt {144 - {x^2}} + \frac{5}{{12}}(144 - {x^2})}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{E(x) = x\sqrt {144 - {x^2}} + \frac{5}{{12}}(144 - {x^2})}$ παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{24}}{{\sqrt {13} }}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = 108}$

Στην περίπτωση αυτή οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι $\boxed{a=\frac{39}{\sqrt{13}}, b=\frac{36}{\sqrt{13}}}$

Μέγιστο ορθογώνιο 2

Μέγιστο ορθογώνιο 2

Re: Μέγιστο ορθογώνιο 2

Re: Μέγιστο ορθογώνιο 2

Re: Μέγιστο ορθογώνιο 2

Μέλη σε σύνδεση