Διαθεματική διασκέδαση

giannimani · #1

Δίνεται κύκλος $\omega$ κέντρου

και σημείο

εκτός αυτού. Έστω

και

τα εφαπτόμενα τμήματα
του $\omega$ που άγονται από το

. Το σημείο

είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

, το

τυχαίο σημείο του μικρού τόξου

του κύκλου $\omega$ . Το σημείο

είναι το ίχνος της από το

καθέτου στην
ευθεία

. 'Εστω $S \neq P$ το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων (PDM)

και $\omega$ .
1. Να αποδείξετε ότι η

και η συμμετρική της

ως προς την

, τέμνονται
σε σημείο που ανήκει στον κύκλο $\omega$ . Ονομάζουμε αυτό το σημείο

.
2. Να αποδείξετε ότι
(a) τα σημεία $S,\, M,\, O$ και

ανήκουν στον ίδιο κύκλο,
(b) τα σημεία $A,\, S$ και

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

: multi_themes.png (57.05 KiB) Προβλήθηκε 1741 φορές

Dimessi · #2

Λύση
Έστω

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο $\left ( \omega \right ).$ Θεωρούμε

το δεύτερο σημείο τομής της

με τον κύκλο $\left ( \omega \right ).$ Θα αποδείξουμε πρώτα ότι το

είναι το συμμετρικό του

ως προς την AM.

Πράγματι, $\displaystyle T\widehat{S}C\overset{P,S,C,T\in \left ( \omega \right )}=T\widehat{P}C\equiv D\widehat{P}C=90^\circ-P\widehat{C}B\overset{S,P,B,C\in \left ( \omega \right )}=90^\circ-P\widehat{S}B.$ Από το εγγράψιμο PDMS

έχουμε $P\widehat{S}M=90^\circ$ , οπότε η προηγούμενη δίνει $T\widehat{S}C=B\widehat{S}M\overset{BM=MC}\Rightarrow ST$ συμμετροδιάμεσος στο BSC.

Άμεσα τώρα $\displaystyle SMC\sim TMC\Rightarrow \frac{SM}{MC}=\frac{MC}{TM}\Rightarrow MS\cdot TM=MB\cdot MC.$ Αλλά $TM\cdot MQ=MB\cdot MC$ και τελικά MS=MQ.

Εξάλλου $Q\widehat{T}C\equiv M\widehat{T}C=B\widehat{C}S,$ επομένως $BS=QC\overset{B,S,Q,C\in \left ( \omega \right )}\Rightarrow SQ\parallel BC\overset{AM\perp BC}\Rightarrow SQ\perp AM$ και από συνθήκη καθετότητας $AS^{2}-AQ^{2}=MS^{2}-MQ^{2}=0\Rightarrow AS=AQ$ και τελικά

μεσοκάθετος του

που δίνει το πρώτο ζητούμενο. Το ζητούμενο 2(β) είναι άμεσο καθώς το τετράπλευρο BSCT

είναι αρμονικό. Για το ζητούμενο 2(α), έχουμε δείξει ότι $S\in AT$ και ως γνωστό $M\in AO.$ Από την επαφή της

με τον κύκλο παίρνουμε $AS\cdot AT=AB^{2}$ και ως γνωστό $AB^{2}=AM\cdot AO$ , επομένως $AS\cdot AT=AM\cdot AO$ , δηλ. SMOT

εγγράψιμο.
Πάντως μου κάνει εντύπωση ότι είναι σε τόσο βαρύ φάκελο.

giannimani · #3

Εκ παραδρομής μπήκε σε αυτόν τον φάκελλο. Ήθελα να το τοποθετήσω στον αμέσως προηγούμενο.
Και για να δικαιολογήσουμε ακόμη περισσότερο τον τίτλο επισυνάπτουμε ένα ακόμη ερώτημα με τρεις
υποερωτήσεις.

3. Να αποδείξετε ότι
(a) $\angle MPC = \angle BSD$ ,
(b) οι ευθείες

και

τέμνονται σε σημείο του $\omega$ . Ονομάζουμε αυτό το σημείο

(c) Να αποδείξετε ότι η συμμετρική ευθεία της

ως προς την

τέμνει την

σε σημείο
που ανήκει στον κύκλο (XTA)

.

Διαθεματική διασκέδαση

Διαθεματική διασκέδαση

Re: Διαθεματική διασκέδαση

Re: Διαθεματική διασκέδαση

Μέλη σε σύνδεση