Υπάρχει επαφή ;

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

thepigod762 · #2

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου δια των F, B

. Από το ορθογώνιο BFC

προφανώς $MB = MF = MC \Rightarrow$

κάθετη στη $AB\Rightarrow$ οι MK, AB

τέμνονται στον (ADM)

.

Αν

οι τομές της

με τον

(

εσωτερικό του τριγώνου), τότε: $\angle PBC = \angle PQB = \angle FBP$ , αφού οι χορδές PB, FP

είναι ίσες, άρα και οι εγγεγραμμένες που βαίνουν στα αντίστοιχα τόξα των χορδών αυτών είναι ίσα. Άρα

διχοτόμος της $\angle ABC$ .

Αφού QBP = 1L

(βαίνει σε ημικύκλιο),

η εξωτερική διχοτόμος της $\angle ABC$ , άρα η δέσμη B(Q, P;L, M)

, όπου

το μέσο του

είναι αρμονική, δηλαδή η διάμετρος

του

χωρίζεται αρμονικά από τον (ADM)

. Συνεπώς

ορθογώνιοι.

Όμοια και ο κύκλος δια των C, E

είναι ορθογώνιος με τον (ADM)

.

Κατά την αντιστροφή ως προς τον (ADM)

, οι εφαπτόμενοι στην

κύκλοι στέλνονται στον εαυτό τους, ενώ ο (DNM)

γίνεται η

(αφού προφανώς

κέντρο του (ADM)

). Το ζητούμενο τώρα είναι άμεσο.

EDIT: διόρθωση τυπογραφικών

#3

thepigod762 έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2023 6:53 pm
Ας είναι το κέντρο του κύκλου δια των . Από το ορθογώνιο προφανώς $MB = MF = MC \Rightarrow$ κάθετη στη $AB\Rightarrow$ οι τέμνονται στον .

Αν οι τομές της με τον ( εσωτερικό του τριγώνου), τότε: $\angle PBC = \angle PQB = \angle FBP$ , αφού οι χορδές είναι ίσες, άρα και οι εγγεγραμμένες που βαίνουν στα αντίστοιχα τόξα των χορδών αυτών είναι ίσα. Άρα διχοτόμος της $\angle ABC$ .

Υπάρχει επαφή_Κότσαλης.png (62.2 KiB) Προβλήθηκε 931 φορές

Αφού (βαίνει σε ημικύκλιο), η εξωτερική διχοτόμος της $\angle ABC$ , άρα η δέσμη , όπου το μέσο του είναι αρμονική, δηλαδή η διάμετρος του χωρίζεται αρμονικά από τον . Συνεπώς ορθογώνιοι.

Όμοια και ο κύκλος δια των είναι ορθογώνιος με τον .

Κατά την αντιστροφή ως προς τον , οι εφαπτόμενοι στην κύκλοι στέλνονται στον εαυτό τους, ενώ ο γίνεται η (αφού προφανώς κέντρο του ). Το ζητούμενο τώρα είναι άμεσο.

EDIT: διόρθωση τυπογραφικών

Το σχήμα της ωραίας λύσης του Γιώργου

Υπάρχει επαφή ;

Υπάρχει επαφή ;

Re: Υπάρχει επαφή ;

Re: Υπάρχει επαφή ;

Μέλη σε σύνδεση