Στον Βαγγέλη Ψύχα

sakis1963 · #1

: 2022.038.FB9898 mathematica.png (67.38 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

Εστω τετράπλευρο ABCD

με $\angle B =\angle C$

και σημείο $P\equiv (A,AB)\cap (D,DC)$ (στο εσωτερικό του)

Αν $S\equiv DP\cap AB$ και $T\equiv AP\cap CD$ , δείξτε οτι:

α. SP+TC=BS+PT

c. οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle BSP, \angle SPT, \angle PTC$ , συντρέχουν

#2

sakis1963 έγραψε:Εστω τετράπλευρο με $\angle B =\angle C$ και σημείο $P\equiv (A,AB)\cap (D,DC)$ (στο εσωτερικό του).
Αν $S\equiv DP\cap AB$ και $T\equiv AP\cap CD$ , δείξτε οτι:

α.
b. οι διχοτόμοι των γωνιών $\angle BSP, \angle SPT, \angle PTC$ , συντρέχουν

$\bullet$ Έστω το σημείο $X\equiv AB\cap CD$ .

Στο ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle XBC$ έχουμε $XA + AB = XD + DC\Rightarrow$ $\boxed{XA - DC = XD - AB}\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και

προκύπτει ότι $\boxed{XA - DP = XD - PA}\ \ \ ,(2)$

Από (2)

συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο XAPD

είναι παρεγγράψιμο και το (b)

ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: Στον Βαγγέλη Ψύχα.; f 181_t 73934.PNG (22.46 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

$\bullet$ Έστω (K)

ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του XAPD

και ας είναι $E,\ M,\ N,\ F,$ τα σημεία επαφής του στις ευθείες $XA,\ PD,\ PA,\ XD,$ αντιστοίχως.

Ισχύει $\boxed{SM = SB + BE}\ \ \ ,(3)$ και $\boxed{TN = TC + CF}\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)$ και BE = CF

λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle XBC$ έχουμε $\boxed{SM - SB = TN - TC}\ \ \ ,(5)$

Από (5)

και $PM = PN\Rightarrow$ $\boxed{SM - SB + PM = TN - TC + PN}\ \ \ ,(6)$

Από $(6)\Rightarrow$ $SM + PM + TC = TN + PN + SB\Rightarrow$ $\boxed{SP + TC = TP + SB}$ και το (a)

ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Στον Βαγγέλη Ψύχα

Στον Βαγγέλη Ψύχα

Re: Στον Βαγγέλη Ψύχα

Μέλη σε σύνδεση