ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΑΚΤΙΝΕΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

το

είναι το περίκεντρό του.
Έστω $R_{a},R_{b},R_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων OBC,OCA,OAB

αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι $\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}\geq \frac{9R^{2}}{2\left ( R+r \right )}$
όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 3:07 pm
Σε οξυγώνιο τρίγωνο το είναι το περίκεντρό του.
Έστω $R_{a},R_{b},R_{c}$ oι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων αντίστοιχα.
Αποδείξτε ότι $\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}\geq \frac{9R^{2}}{2\left ( R+r \right )}$
όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

Καλό μεσημέρι,

από νόμο ημιτόνων στο AOB

έχουμε $\dfrac{R}{\sin (90-\angle A)}=2R_a\Leftrightarrow R_a=\dfrac{R}{2\cos\angle A}$

Ομοίως για τις άλλες ακτίνες και τελικά ισοδύναμα θέλουμε $\dfrac{R}{2\cos\angle A}+\dfrac{R}{2\cos\angle B}+\dfrac{R}{2\cos\angle C}\geq \dfrac{9R^2}{2(R+r)}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos\angle A}}+\dfrac{1}{\cos\angle B}}+\dfrac{1}{\cos\angle C}}\geq \dfrac{9R}{R+r}$
Με βάση την γνωστή σχέση $\cos\angle A+\cos\angle B+\cos\angle C=1+\dfrac{r}{R}$ έχουμε $\dfrac{1}{\cos\angle A}}+\dfrac{1}{\cos\angle B}}+\dfrac{1}{\cos\angle C}} \overset{C-S}{ \geq} \dfrac{9}{\cos\angle A+\cos\angle B+\cos\angle C}=\dfrac{9R}{r+R}$ όπως θέλαμε.

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΑΚΤΙΝΕΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΑΚΤΙΝΕΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕ ΑΚΤΙΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση