Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.

#1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ και έστω $D,\ E,$ τυχόντα σημεία επί της πλευράς του ώστε να είναι $\angle ABD = \angle EAC$ και ας είναι το σημείο τομής της ευθείας από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{ZD}{ZE} = \frac{(BD)^{2}}{(BE)^{2}}$

: Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.; f=181 t=72320.PNG (10.24 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Κώστας Βήττας.

STOPJOHN · #2

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 23, 2022 5:54 pm
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $\angle A = 90^{o}$ και έστω $D,\ E,$ τυχόντα σημεία επί της πλευράς του ώστε να είναι $\angle ABD = \angle EAC$ και ας είναι το σημείο τομής της ευθείας από την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την .
Αποδείξτε ότι $\displaystyle \frac{ZD}{ZE} = \frac{(BD)^{2}}{(BE)^{2}}$
f=181 t=72320.PNG
Κώστας Βήττας.

Για τις γωνίες είναι

$\hat{ABD}=\hat{EBC}=\omega ,\hat{DBE}=\phi , \hat{ZBA}=90-2\omega -\phi =\hat{DEB},\hat{BEA}=\hat{ZBD}=90-\omega -\phi$

Οποτε τα τρίγωνα ZBD,ZBE

είναι όμοια και

$\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{ZD}{ZB}=\dfrac{ZB}{ZE},(*), (*)\Rightarrow \dfrac{BD^{2}}{BE^{2}}=\dfrac{ZD^{2}}{ZB^{2}},ZB^{2}=ZD.ZE,(2)$

Οποτε η αποδεικτέα σχεση γραφεται

$ZB^{2}=ZD.ZE$

που ισχύει απο την (2)

#3

Μοιάζει λίγο με τα παραπάνω, αλλά διαφορετικά διατυπωμένο.

Είναι άμεσο ότι $\angle{BED}=\angle{ZBD}$ , δηλαδή η

είναι εφαπτομένη στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου DBE

.
Είναι τότε γνωστό ότι η εφαπτομένη τέμνει την απέναντι πλευρά στο συζυγές αρμονικό της συμμετροδιαμμέσου. Αυτό σημαίνει ότι το

είναι το συζυγές αρμονικό της συμμετροδιαμέσου και το ζητούμενο έπεται.

Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.

Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.

Re: Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.

Re: Ισότητα λόγων από Ισογώνιες.

Μέλη σε σύνδεση