Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

#1

Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο

) ότι αν δύο εξωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο δεν είναι υποχρεωτικά ισοσκελές.Υπάρχει το αντιπαράδειγμα του τριγώνου με γωνίες $\displaystyle 36^\circ - 132^\circ - 12^\circ .$ Ας
το δούμε όμως γενικότερα:

Αν BE, CD

είναι οι εξωτερικές διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου ABC,

με

και $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2},$
να δείξετε ότι BE=CD.

#2

Επαναφορά.

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 15, 2020 11:12 am
Είναι γνωστό (έχει συζητηθεί αρκετές φορές στο ) ότι αν δύο εξωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε το
τρίγωνο δεν είναι υποχρεωτικά ισοσκελές.Υπάρχει το αντιπαράδειγμα του τριγώνου με γωνίες $\displaystyle 36^\circ - 132^\circ - 12^\circ .$ Ας
το δούμε όμως γενικότερα:

Αν είναι οι εξωτερικές διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου με και $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2},$
να δείξετε ότι

Καλησπέρα Γιώργο

Η δοθείσα σχέση $sin^{2}\dfrac{A}{2}=sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2},$ γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{(\tau -a)^{2}}{a^{2}}=\dfrac{(\tau -b)(\tau -c)}{bc}$

γιατί $sin^{2}\dfrac{A}{2}=\dfrac{\rho ^{2}}{(\tau -a)^{2}+\rho ^{2}}=\dfrac{(\tau -b)(\tau -c)}{bc},$

εφόσον είναι $\rho ^{2}=\dfrac{(\tau -a)(\tau -b)(\tau -c)}{\tau }.$

Απότην υποθεση είναι $\tau =\dfrac{a(2bc-ab-ac)}{bc-a^{2}}\Rightarrow \tau -c=-b\dfrac{(a-c)^{2}}{bc-a^{2}}, \tau -b=-c\dfrac{(a-b)^{2}}{bc-a^{2}}$

Οπότε $\dfrac{c(\tau -c)}{b(\tau -b)}=\dfrac{(a-c)^{2}}{(a-b)^{2}},(*),$

Για τις εξωτερικές διχοτόμους είναι $\Delta ^{2}_{b}=\dfrac{4ac(\tau -a)(\tau -c)}{(a-c)^{2}}, \Delta ^{2}_{c}=\dfrac{4ab(\tau -a)(\tau -b)}{(a-b)^{2}}$

Αρα θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{c(\tau -c)}{(a-c)^{2}}=\dfrac{b(\tau -b)}{(a-b)^{2}}$ που είναι η σχέση (*)

Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

Re: Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

Re: Κριτήριο εξωτερικών διχοτόμων

Μέλη σε σύνδεση