Ανισότητα σε τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Σε οξυγώνειο τρίγωνο ABC

(και με τους σύνηθεις συμβολισμούς) να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \sqrt{\frac{\sin A}{\sin B \sin C}} + \sqrt{\frac{\sin B}{\sin C \sin A}} + \sqrt{\frac{\sin C}{\sin A \sin B}} \geq \frac{1}{R} \sqrt{\frac{abc}{r}}}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Επειδή
$\sin A=\dfrac{a}{2R}$ , $\sin B=\dfrac{b}{2R}$ , $\sin C=\dfrac{c}{2R}$

το πρώτο μέλος της δοσμένης γράφεται
$\sqrt{\dfrac{2Ra}{bc}}+\sqrt{\dfrac{2Rb}{ac}}+\sqrt{\dfrac{2Rc}{ab}}$ $=\sqrt{\dfrac{2R}{abc}}\cdot (a+b+c)=(*)$

Επειδή όμως
$E=\dfrac{abc}{4R}=s r$

θα έχουμε:
$(*)=...=\dfrac{1}{r}\sqrt{\dfrac{abc}{2R}}$

Η ζητούμενη ανισότητα προκύπτει αν αποδειχθεί ότι
$\dfrac{1}{r}\sqrt{\dfrac{abc}{2R}}\ge \dfrac{1}{R} \sqrt{\dfrac{abc}{r}}}$

Όμως αυτή είναι ισοδύναμη με την ανισότητα Euler $R\ge 2r$
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euler%2 ... n_geometry $\blacksquare$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η υπόθεση ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο δεν είναι αναγκαία για την απόδειξη της ανισότητας

Ανισότητα σε τρίγωνο

Ανισότητα σε τρίγωνο

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση