Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

Με τον μετασχηματισμό $\displaystyle{a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y}, c=\frac{1}{z}}$ θα αποδείξουμε ότι αν $\displaystyle{x,y,z>0}$ με $\displaystyle{xyz=1}$ τότε

$\displaystyle{\sum \frac{x^3}{(y+1)(z+1)}\ge \frac{3}{4}.}$

Από την ανισότητα $\displaystyle{\frac{1}{mn}\geq \frac{4}{(m+n)^2}}$ , έχουμε

$\displaystyle{\sum \frac{x^3}{(y+1)(z+1)} \geq \sum\frac{4x^3}{(2+y+z)^2}\geq \frac{(x+y+z)^3}{[3+x+y+z]^2}}$ . (*)

Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{q^3}{(3+q)^2}\geq \frac{3}{4}}$ , η οποία ισοδυναμεί με την προφανή $\displaystyle{(q-3)(q^2+9q+9)\geq 0}$ , $\displaystyle{q=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3.}$

Η (*) είναι άμεση από Hölder.

#3

Θα δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι 3/4

που λαμβάνεται όταν a=b=c=1

.

Μπορούμε να βρούμε x,y,z > 0

ώστε

. Τότε

$\displaystyle \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)} = \frac{y^4z}{x^3(y+z)(z+x)} = \frac{y^4z/x^2 + y^5z/x^3}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle \sum \frac{y^4z}{x^2} + \sum \frac{y^5z}{x^3} \geqslant \frac{3}{4}(x+y)(y+z)(z+x)$

Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle 2 \frac{y^4z}{x^2} + 2 \frac{z^4x}{y^2} + 5 \frac{x^4y}{z^2} \geqslant 9x^2y$

και προσθέτοντας κυκλικά παίρνουμε

$\displaystyle \sum \frac{y^4z}{x^2} \geqslant x^2y + y^2z + z^2x$

Πάλι από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle 5 \frac{y^5z}{x^3} + 2 \frac{z^5x}{y^3} + 5 \frac{x^5y}{z^3} \geqslant 12xy^2$

και προσθέτοντας κυκλικά παίρνουμε

$\displaystyle \sum \frac{y^5z}{x^3} \geqslant xy^2 + yz^2 + zx^2$

Συνολικά παίρνουμε

$\displaystyle \begin{aligned} \sum \frac{y^4z}{x^2} + \sum \frac{y^5z}{x^3} &\geqslant (x^2y + y^2z + z^2x+xy^2+yz^2+zx^2) \\ &= \frac{3}{4}((x^2y + y^2z + z^2x+xy^2+yz^2+zx^2) + \frac{1}{4}((x^2y + y^2z + z^2x+xy^2+yz^2+zx^2) \\ &\geqslant \frac{3}{4}((x^2y + y^2z + z^2x+xy^2+yz^2+zx^2) + \frac{3}{2}xyz \\ &= \frac{3}{4}(x+y)(y+z)(z+x) \end{aligned}$

Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.

Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.

Re: Ελάχιστη τιμή αθροίσματος κλασμάτων.

Μέλη σε σύνδεση