Αδύνατο σύστημα στο R

#1

Να αποδείξετε ότι το σύστημα:

$\displaystyle{257x^{16}+257y^{16}=2^{-8}}$

$\displaystyle{x+\sqrt2 . y=\sqrt[8]{8}}$

είναι αδύνατο στο R

vgreco · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 28, 2022 6:41 am
Να αποδείξετε ότι το σύστημα:

$\displaystyle{ \begin{cases} 257x^{16} + 257y^{16} = 2^{-8} \\ x + \sqrt2 \cdot y = \sqrt[8]{8} \end{cases} }$

είναι αδύνατο στο R

Με τη βοήθεια της ανισότητας των δυνάμεων:

$\displaystyle{ 2^{-8} = 256x^{16} + y^{16} + x^{16} + 256y^{16} \ge \left[ x^8 + \left(\sqrt2 \cdot y \right)^8 \right]^2 \ge 4 \left(\dfrac{x + \sqrt2 \cdot y}{2} \right)^{16} = \dfrac{2^8}{2^{16}} \Rightarrow 2^8 \ge 2^8 }$

Η ισότητα θα ίσχυε αν:

$\displaystyle{ \begin{cases} 256x^{16} = y^{16} \ \ \text{\gr και} \\ x = \sqrt2 \cdot y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt2 \cdot x = y \ \ \text{\gr και} \\ x = \sqrt2 \cdot y \end{cases} }$

που είναι άτοπο (καθώς $x, y \ne 0$ ).

#3

Ας δούμε και μια ακόμα αντιμετώπιση , (όχι όμως σύντομη όπως δόθηκε πιο πάνω).

Από τα ζεύγη: $\displaystyle{(x^8 , y^8)}$ και $\displaystyle{(1,16)}$ παίρνουμε: $\displaystyle{(x^{16} +y^{16})(1^2 +16^2)\geq (1.x^8 +16.y^8 )^2}$

Άρα: $\displaystyle{ (x^8 +16y^8 )^2 \leq 257(x^{16}+y^{16}) \Rightarrow (x^8 +16y^8)^2 \leq 2^{-8}}$ , (1)

Από τα ζεύγη: $\displaystyle{(x^4 , 4 y^4 )}$ και $\displaystyle{(1,1)}$ παίρνουμε: $\displaystyle{(x^8 +16y^8 ).(1^2 +1^2)\geq (1.x^4 +1.4y^4 )^2 }$ .

Άρα: $\displaystyle{(x^8 +16y^8) .2 \geq (x^4 + 4y^4 )^2 \Rightarrow (x^8 +16y^8 )^2 \geq 2^{-2} .(x^4 +4y^4 )^4 }$ , (2)

Από τα ζεύγη: $\displaystyle{(x^2 , 2y^2)}$ και $\displaystyle{(1,1)}$ παίρνουμε: $\displaystyle{(x^4 +4y^4 )(1^2 +1^2 )\geq (1.x^2 +1.2y^2 )^2 }$ , (A)

Άρα: $\displaystyle{(x^4 +4y^4 ).2 \geq (x^2 +2y^2 )^2 \Rightarrow 2^4 .(x^4 +4y^4 )^4 \geq (x^2 +2y^2 )^8 \Rightarrow 2^{-2} (x^4 +4y^4 )^4 \geq 2^{-6} (x^2 +2y^2 )^8 }$ , (3)

Από (2) , (3) έχουμε: $\displaystyle{(x^8 +16y^8)^2 \geq 2^{-6}(x^2 +2y^2 )^8 }$ , (4)

Από τα ζεύγη $\displaystyle{(x , \sqrt{2} . y)}$ και $\displaystyle{(1,1)}$ παίρνουμε: $\displaystyle{(x^2 +2y^2 )(1^2 +1^2 )\geq (x+\sqrt{2} . y)^2 }$

Άρα: $\displaystyle{2.(x^2 +2y^2 )\geq (\sqrt[8]{8})^2 \Rightarrow 2^8 (x^2 +2y^2 )^8 \geq 2^6 \Rightarrow 2^{-6} (x^2 +2y^2 )^8 \geq 2^{-8} }$ , (5)

Από (4) , (5) έχουμε: $\displaystyle{(x^8 +16y^8 )^2 \geq 2^{-8}}$ , (6)

Τώρα από (1) και (6) παίρνουμε: $\displaystyle{(x^8 +16y^8 )^2 =2^{-8} }$ , (7)

Τώρα η (2) γράφεται: $\displaystyle{2^{-2} . (x^4 +4y^4 )^4 \leq (2^{-8})^2 \Rightarrow (x^4 +4y^4 )^4 \leq 2^{-14}}$ , (B)

Η (3) γράφεται: $\displaystyle{ (x^4 +4y^4 )^4 \geq 2^{-4}.(x^2 +2y^2 )^{8}}$ , (Γ)

Η (5) γράφεται: $\displaystyle{(x^2 +2y^2 )^8 \geq 2^{-2} \Rightarrow 2^{-4} (x^2 +2y^2 )^8 \geq 2^{-6} }$ και τώρα η (Γ) δίνει:

$\displaystyle{(x^4 +4y^4 )^4 \geq 2^{-6}}$ , (Δ)

Οι σχέσεις (Β) και (Δ) καταλήγουν σε άτοπο και άρα το δοσμένο σύστημα είναι αδύνατο.

Αδύνατο σύστημα στο R

Αδύνατο σύστημα στο R

Re: Αδύνατο σύστημα στο R

Re: Αδύνατο σύστημα στο R

Μέλη σε σύνδεση