Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει f(xf(y)+y^2)=f((x+y)^2)-xf(x)

για κάθε $x, y\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 04, 2022 8:43 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει για κάθε $x, y\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλή

η δοσμένη

Έστω πως υπάρχει $t\neq 0$ με f(t)=0

.

$P(-2t,t): f(t^2)=f(t^2)+2tf(-2t)\Leftrightarrow f(-2t)=0$
P(x,-2t): f(4t^2)=f((x-2t)^2)-xf(x)

και αφού

έχουμε

επομένως

Σαφώς η $\boxed{f(x)\equiv 0}$ επαληθεύει, υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει

με $f(k)\neq 0$
Στην τελευταία για y=k

έχω

για κάθε

αφού το

διατρέχει όλο το $\mathbb{R}$
Άρα υπάρχει $e\neq 0$ με f(x+e)=f(x)

Είναι τώρα kf(k)=(k-3t)f(k-3t)

και
$(k+e)f(k+e)=(k+e-3t)f(k+e-3t)\Leftrightarrow ef(k)=ef(k-3t)\Leftrightarrow f(k)=f(k-3t)\neq 0$
οπότε k=k-3t

άτοπο.
Μένει η περίπτωση $f(u)=0\Leftrightarrow u=0$
P(x,0): f(x^2)=xf(x)

και με $x\rightarrow -x$ παίρνω f(-x)=-f(x)

άρα για $x\neq 0$ έχω
$xf(-2x)+4x^2=0\Leftrightarrow f(-2x)=-4x$ άρα $\boxed{f(x)=2x}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$
η οποία επαληθεύει.

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση