Συναρτησιακή

Batapan · #1

Μια ιδιοκατασκευή..
Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

g(x)g(y) + 2(g(x)+g(y)-1) = 3g(x+y)

να ισχύει για κάθε χ,y $\in \mathbb{R}$

thepigod762 · #2

Batapan έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 4:09 pm
Μια ιδιοκατασκευή..
Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

να ισχύει για κάθε χ,y $\in \mathbb{R}$

Γράφουμε

$(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y)\Leftrightarrow f(x)f(y)=f(x+y),$
όπου $f(x)=\dfrac{g(x)+2}{3}.$

Σαφώς,
$P(x,x): (f(x))^2=f(2x) \Rightarrow f(x)\geq0, \forall x \in \mathbb{R}$

και για f(x_0)=0,

για κάποιο x_0,

$\displaystyle P(x_0, x-x_0): f(x)\equiv 0,$
που ικανοποιεί.

Για f(x)>0

τώρα παίρνουμε λογάριθμο και στα δύο μέλη που δίνει
$\displaystyle \ln f(x) +\ln f(y) = \ln f(x+y) ,$

οπότε η $\ln f(x)$ ικανοποιεί Cauchy, και επειδή είναι μονότονη έχουμε διαδοχικά $f(x) = e^{cx}$ , για κάποια σταθερά

(Λόγω πυκνότητας του $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{R}$ .)

Τελικά $g(x)=\dfrac{e^{cx}+2}{3}.$

Batapan · #3

thepigod762 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 10:33 pm

Batapan έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 4:09 pm
Μια ιδιοκατασκευή..
Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

να ισχύει για κάθε χ,y $\in \mathbb{R}$
Γράφουμε

$(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y)\Leftrightarrow f(x)f(y)=f(x+y),$
όπου $g(x)+2=\dfrac{f(x)}{3}.$

Σαφώς,
$P(x,x): (f(x))^2=f(2x) \Rightarrow f(x)\geq0, \forall x \in \mathbb{R}$

και για για κάποιο
$\displaystyle P(x_0, x-x_0): f(x)\equiv 0,$
που ικανοποιεί.

Για τώρα παίρνουμε λογάριθμο και στα δύο μέλη που δίνει
$\displaystyle \ln f(x) +\ln f(y) = \ln f(x+y) ,$

οπότε η $\ln f(x)$ ικανοποιεί Cauchy, και επειδή είναι μονότονη έχουμε διαδοχικά $f(x) = e^{cx}$ , για κάποια σταθερά (Λόγω πυκνότητας του $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{R}$ .)

Τελικά $g(x)=\dfrac{e^{cx}}{3}-2.$

Μια μικρή παρατήρηση ...θα είναι $f(x)=\frac{g(x)+2}{3}$

Ανδρέας Πούλος · #4

Αγαπητέ Γιώργο, δεν βρήκα τρόπο για προσωπική επικοινωνία για διόρθωση του τυπογραφικού σου λάθους,
γι΄ αυτό στέλνω δημόσιο μήνυμα.
Γράφεις
(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y) ισοδύναμα f(x)f(y)=f(x+y),
όπου $g(x)+2=\dfrac{f(x)}{3}$ .
Εξάλλου, εύκολα διαπιστώνουμε ότι για x = y = 0

έχουμε

ή

.
Αυτό το δεδομένο αντιφάσκει με την προτεινόμενη λύση σου.

thepigod762 · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 11:26 pm
Αγαπητέ Γιώργο, δεν βρήκα τρόπο για προσωπική επικοινωνία για διόρθωση του τυπογραφικού σου λάθους,
γι΄ αυτό στέλνω δημόσιο μήνυμα.
Γράφεις
(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y) ισοδύναμα f(x)f(y)=f(x+y),
όπου $g(x)+2=\dfrac{f(x)}{3}$ .
Εξάλλου, εύκολα διαπιστώνουμε ότι για έχουμε ή .
Αυτό το δεδομένο αντιφάσκει με την προτεινόμενη λύση σου.

Τυπογραφικό ήταν. Συγνώμη για τη σύγχυση.

Batapan · #6

thepigod762 έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 10:33 pm

Batapan έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 07, 2022 4:09 pm
Μια ιδιοκατασκευή..
Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

να ισχύει για κάθε χ,y $\in \mathbb{R}$
Γράφουμε

$(g(x)+2)(g(y)+2)-6=3g(x+y)\Leftrightarrow f(x)f(y)=f(x+y),$
όπου $f(x)=\dfrac{g(x)+2}{3}.$

Σαφώς,
$P(x,x): (f(x))^2=f(2x) \Rightarrow f(x)\geq0, \forall x \in \mathbb{R}$

και για για κάποιο
$\displaystyle P(x_0, x-x_0): f(x)\equiv 0,$
που ικανοποιεί.

Για τώρα παίρνουμε λογάριθμο και στα δύο μέλη που δίνει
$\displaystyle \ln f(x) +\ln f(y) = \ln f(x+y) ,$

οπότε η $\ln f(x)$ ικανοποιεί Cauchy, και επειδή είναι μονότονη έχουμε διαδοχικά $f(x) = e^{cx}$ , για κάποια σταθερά (Λόγω πυκνότητας του $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{R}$ .)

Τελικά $g(x)=\dfrac{e^{cx}+2}{3}.$

Εν τέλει

Ή γενικά , παίρνοντας κατά τη διάρκεια της λύσης λογάριθμο βάσης a>0
g(x)=3k^x-2

, όπου

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση