Αριθμοθεωρητικό άθροισμα

#1

Για

θετικό ακέραιο, γράφουμε D_n

για το σύνολο των θετικών διαιρετών του

, και $\displaystyle{ f(n) = \sum_{d \in D_n} \frac{1}{1+d}.}$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \sum_{n=1}^m f(n) < m}$ για κάθε φυσικό

.

Πηγή: Ολυμπιάδα Νοτιοανατολικής Κίνας 2016, Πρόβλημα 5, Grade-10

taratoris · #2

Έστω δοσμένο το

. Κάθε θετικός ακέραιος $d\leq m$ διαιρεί ακριβώς $\lfloor \frac{m}{d} \rfloor$ θετικούς ακεραίους που είναι μικρότεροι ή ίσοι του

. Συνεπώς στο άθροισμα $\sum_{n=1}^{m}f(n)$ , το κάθε $\frac{1}{1+d}$ εμφανίζεται $\lfloor \frac{m}{d} \rfloor$ φορές. Συνεπώς:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{m}f(n)=\sum_{d=1}^{m}\lfloor \frac{m}{d} \rfloor \frac{1}{1+d} \leq \sum_{d=1}^{m} \frac{m}{d} \frac{1}{1+d}= m\sum_{d=1}^{m} \frac{1}{d} \frac{1}{1+d}=m\sum_{d=1}^{m} ( \frac{1}{d}-\frac{1}{1+d})=m(1-\frac{1}{m+1})< m}$

#3

Σωστά. Την πήρα από εδώ. Είναι από διαγωνισμό της νοτιοανατολικής Κίνας για Grade-10. Φαντάζομαι αντιστοιχεί στην Α' Λυκείου.

Μου άρεσε διότι έχει στοιχεία και από άλγεβρα και από αριθμοθεωρία και από συνδυαστική.

Αριθμοθεωρητικό άθροισμα

Αριθμοθεωρητικό άθροισμα

Re: Αριθμοθεωρητικό άθροισμα

Re: Αριθμοθεωρητικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση