Είδος τριγώνου

#1

Σε τρίγωνο ABC

ισχύει η σχέση $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}.$ Να βρείτε το είδος του τριγώνου.

Tolaso J Kos · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 12:10 pm
Σε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}.$ Να βρείτε το είδος του τριγώνου.

Μία λύση ...

Από τη σχέση έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin^2 \frac{A}{2} \sin B \sin C = \frac{1}{4} & \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin^2 \frac{A}{2} \left( \cos (B-C) - \cos (B+C) \right) = \frac{1}{4} \\ & \Leftrightarrow \frac{1 - \cos A}{2} \frac{\cos (B-C) + \cos A}{2} = \frac{1}{4} \\ & \Leftrightarrow \left( 1 - \cos A \right) \left( \cos (B-C) + \cos A \right) = 1 \end{aligned}}$
Βλέπουμε τη τελευταία εξίσωση ως δευτεροβάθμια του $\cos A$ . Για να ισχύτει πρέπει $\Delta=0$ απ' όπου προκύπτει $\cos (B - C) = 1$ και άρα B=C

και $\cos A =0$ και άρα $A=90^\circ$ . Άρα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 12:10 pm
Σε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}.$ Να βρείτε το είδος του τριγώνου.

Από τον (γνωστό) τύπο

$\sin ^2 \dfrac{A}{2}= \dfrac {1}{2}(1-\cos A) = \dfrac {1}{2} \left (1- \dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )= \dfrac {a^2-(b-c)^2}{2bc}$

η δοθείσα γράφεται

$\dfrac {a^2-(b-c)^2}{2bc} \cdot \dfrac {b}{2R}\cdot \dfrac {c}{2R} = \dfrac {1}{4}$ , ισοδύναμα $a^2-(b-c)^2= 4R^2, \, (*)$

Αλλά $a\le 2R$ (διότι η χορδή

είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου του περιγεγραμμένου κύκλου) οπότε από την (*)

έχουμε

$a^2\ge a^2-(b-c)^2= 4R^2\ge a^2$ , και άρα ισότητα παντού. Ειδικά b-c=0

(ισοσκελές τρίγωνο) και τότε επίσης a^2=4R^2

, ισοδύναμα a=2R

(διάμετρος). Άρα η εγγεγραμμένη γωνία

βλέπει διάμετρο, που σημαίνει ότι είναι ορθή.

Συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές.

abgd · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 08, 2026 12:10 pm
Σε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}.$ Να βρείτε το είδος του τριγώνου.

Έστω

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Από τους νόμους των ημιτόνων, συνημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle {\sin ^2}\frac{A}{2}\sin B\sin C = \frac{1}{4}\Leftrightarrow (1-cosA)bc=2R^2\Leftrightarrow \left(1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)bc=2R^2.}$

Έτσι θα είναι:
$\displaystyle {a^2=4R^2+(b-c)^2 \Leftrightarrow A=90^o, \ \ b=c}$
αφού
$\displaystyle {a\leq 2R}$ με το ίσον να ισχύει μόνο όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Το δημοσιεύσαμε συγχρόνως με τον Μιχάλη!

Μιχάλη το αφήνω για τον κόπο.

Είδος τριγώνου

Είδος τριγώνου

Re: Είδος τριγώνου

Re: Είδος τριγώνου

Re: Είδος τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση