Παραμετρική εφαπτομένη

KARKAR · #1

: παραμετρική εφαπτομένη.png (24.45 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Στις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία A , B

, με :

. Σχεδιάζουμε

τα ισεμβαδικά τρίγωνα BOC , DOA

, των οποίων οι υποτείνουσες τέμνονται στο

, ενώ οι περίκυκλοι

των τριγώνων SAC , DBS

, τέμνονται στο

. Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{SOT}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 21, 2025 7:41 pm
παραμετρική εφαπτομένη.pngΣτις πλευρές της ορθής γωνίας $\hat{O}$ θεωρούμε σημεία , με : . Σχεδιάζουμε

τα ισεμβαδικά τρίγωνα , των οποίων οι υποτείνουσες τέμνονται στο , ενώ οι περίκυκλοι

των τριγώνων , τέμνονται στο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας $\widehat{SOT}$ .

Από τα ισεμβαδικά τρίγωνα είναι $\displaystyle aOD = bOC \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{OC}}{{OD}} \Leftrightarrow AB//CD$

: Παραμετρική εφαπτομένη.1.png (20.92 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Το

είναι τραπέζιο και

είναι το σημείο τομής των διαγωνίων, άρα το

διέρχεται από το μέσο

του

Ισχυρίζομαι ότι $OT\bot AB$ (θα το αποδείξω σε επόμενη ανάρτηση). Από 2ο θεώρημα διαμέσων στο OAB

έχω:

$\displaystyle {a^2} - {b^2} = 2AB \cdot PM.$ Αλλά, $\displaystyle ab = 2(OAB) = OP \cdot AB.$

Επομένως, $\boxed{\tan \theta = \frac{{PM}}{{OP}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2ab}}}$

#3

Θα αποδείξω (όπως υποσχέθηκα) την παρακάτω πρόταση:

Στις πλευρές ορθής γωνίας με κορυφή θεωρώ τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε και έστω

το σημείο τομής των Αν οι περίκυκλοι των τριγώνων τέμνονται στο τότε $OT\bot AB.$

: Παραμετρική εφαπτομένη.2.png (29.77 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

Απόδειξη:
Απο τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα ASTC, BSTD,

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι μπλε.

Άρα τα τρίγωνα ACT, DBT

είναι όμοια και αν TK, TL

είναι τα αντίστοιχα ύψη τους, τότε

$\displaystyle \frac{{TK}}{{TL}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{OA}}{{OB}} \Leftrightarrow OA \cdot TL = OB \cdot TK \Leftrightarrow$ $\boxed{OA\cdot OK=OB\cdot OL}$ (1)

Έστω ότι ο περίκυκλος του AKT

τέμνει την

στο

Τότε, $\displaystyle OA \cdot OK = OP \cdot OT,$ άρα $A\widehat PT=90^\circ.$

Αλλά από την (1)

θα είναι και $\displaystyle OB \cdot OL = OP \cdot OT,$ οπότε $T\widehat PB=90^\circ,$ δηλαδή τα A, P, B

είναι συνευθειακά

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Παραμετρική εφαπτομένη

Παραμετρική εφαπτομένη

Re: Παραμετρική εφαπτομένη

Re: Παραμετρική εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση