Εφαπτομένη από εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη από επαφές.png (18.89 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

Με κέντρο σημείο

του τμήματος

γράφουμε κύκλο (K , 3)

. Οι εφαπτόμενες προς τον (K)

από τα

τέμνονται στο σημείο

. Αν το

είναι σημείο της y=x

, υπολογίστε την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 23, 2025 8:47 am
Εφαπτομένη από επαφές.pngΜε κέντρο σημείο του τμήματος γράφουμε κύκλο . Οι εφαπτόμενες προς τον

από τα τέμνονται στο σημείο . Αν το είναι σημείο της , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Θέτω

και έχω: $\displaystyle (SWE) = (SWK) + (SEK) \Leftrightarrow 6a = \frac{3}{2}(SW + SE) \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4a = \sqrt {{a^2} + {{(6 + a)}^2}} + \sqrt {{a^2} + {{(6 - a)}^2}},$ απ' όπου παίρνω $\boxed{a = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}$ (1)

: Εφαπτομένη από εφαπτόμενες.Κ.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

Στη συνέχεια από τον τύπο $\displaystyle d(K,SE) = 3$ καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle \frac{{a|6 - k|}}{{\sqrt {{a^2} + {{(6 - a)}^2}} }} = 3\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} k = \sqrt 6$

Άρα, $\displaystyle KN = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ και $\displaystyle \tan (\theta + \varphi ) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\tan \theta + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{3}\tan \theta }} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = \frac{1}{2}}$

Nikitas K. · #3

: Εφαπτομένη από εφαπτόμενες.png (28.6 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

$\displaystyle { \begin{Bmatrix} d(K,WS)= 3 \\\\ d(K, ES) = 3 \end{Bmatrix} \underset{s>0}{\overset{0<k<6}\Leftrightarrow} \begin{Bmatrix} \dfrac{sk + 6s}{\sqrt{s^2 + (s + 6)^2}} = 3 \\\\ \dfrac{6s-sk}{\sqrt{s^2 + (s-6)^2}} = 3 \end{Bmatrix} \Rightarrow (s,k) = \left(\dfrac{3\sqrt{6}}{2},\sqrt{6}}\right) }$

Επομένως

$\overrightarrow{SO} = \left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2},-\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \right)$ και $\overrightarrow{SK} = \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2},-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)$

Άρα

$\displaystyle {\dfrac{\overrightarrow{SO} \cdot \overrightarrow{SK}}{\left|\overrightarrow{SO}\right|\left|\overrightarrow{SK}\right|}=\dfrac{-\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)+\left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \right) \left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)}{\sqrt{\left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2} \sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2}} \Leftrightarrow \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \tan\theta = \dfrac{1}{2}}$

Εφαπτομένη από εφαπτόμενες

Εφαπτομένη από εφαπτόμενες

Re: Εφαπτομένη από εφαπτόμενες

Re: Εφαπτομένη από εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση