Λείπουν τα μισά

KARKAR · #1

: Λείπουν τα μισά.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Στον ημιάξονα

, θεωρούμε σημείο

, με :

. Σημείο

κινείται στην μεσοκάθετο

του

. Στην

θεωρούμε σημείο

ώστε :

. Στην προέκταση της

θεωρούμε

σημείο

ώστε :

. Φέρουμε : $PS \parallel TA$ και : $QS \parallel AO$ , οι οποίες τέμνονται στο

σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 12, 2025 4:28 am
Λείπουν τα μισά.pngΣτον ημιάξονα , θεωρούμε σημείο , με : . Σημείο κινείται στην μεσοκάθετο

του . Στην θεωρούμε σημείο ώστε : . Στην προέκταση της θεωρούμε

σημείο ώστε : . Φέρουμε : $PS \parallel TA$ και : $QS \parallel AO$ , οι οποίες τέμνονται στο

σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

: leipoun.png (43.17 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

.

Γράφω λύση χωρίς τις πράξεις.

Είναι $A(a,0), \, T (a/2, t)$ όπου

μεταβλητό και OB=b

. Το

είναι στην τομή του κύκλου x^2+y^2=b^2

και της

, που είναι η $y= \dfrac {2t}{a}x$ . Λύνοντας θα βρούμε

$P\left ( \dfrac {ab}{\sqrt {a^2+4t^2}}, \, \dfrac {2bt}{\sqrt {a^2+4t^2}}\right )$ .

Όμοια η τεταγμένη τώρα του

είναι άμεση, συγκεκριμένα "μείον η τεταγμένη του

" (απλό). H τετμημένη δεν θα μας χρειαστεί, οπότε δεν κάνουμε τον κόπο να την βρούμε.

H ευθεία

είναι η $y- \dfrac {2bt}{\sqrt {a^2+4t^2}}= -\dfrac {2t}{a} \left (x-\dfrac {ab}{\sqrt {a^2+4t^2}} \right )$

Συνεπώς, λύνοντας, η τομή

της προηγούμενης με την οριζόντια από το

δίνει σε παραμετρική μορφή τον τόπο του

. Εδώ

$x= \dfrac {3ab}{\sqrt {a^2+4t^2}} , \, y= -\dfrac {2bt}{\sqrt {a^2+4t^2}}$

Αυτές γράφονται

$\dfrac {x}{3b}= \dfrac {a}{\sqrt {a^2+4t^2}} , \, \dfrac {y}{b}= -\dfrac {2t}{\sqrt {a^2+4t^2}}$

Με ύψωση στο τετράγωνο και πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση του ζητούμενου τόπου ως

$\boxed {\dfrac {x^2}{9b^2}+ \dfrac {y^2}{b^2}=1 }$ (το δεξί μισό μιας έλλειψης).

Το περίεργο είναι ότι δεν υπάρχει η παράμετρος

του αρχικού σχήματος.

#3

Έκανα διόρθωση στις πράξεις του προηγούμενου. Τώρα δείχνει σωστό.

Λείπουν τα μισά

Λείπουν τα μισά

Re: Λείπουν τα μισά

Re: Λείπουν τα μισά

Μέλη σε σύνδεση