Δημιουργικότητα και απλότητα

KARKAR · #1

: Δημιουργικότητα και απλότητα.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 1152 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με :

, το

είναι το μέσο της

και το

σημείο

της υποτείνουσας

, τέτοιο ώστε : BS=x , 0<x<5

. Η

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Δημιουργήστε συνάρτηση f , (=f(x))

, η οποία να αποδίδει το γινόμενο $SM \cdot MP$ ,

απλοποιήστε κατά το δυνατόν τον τύπο της και βρείτε το ελάχιστό της .

Σημείωση : Ανάλογα και με τον τρόπο λύσης που θα επιλέξετε , πιθανόν να χρειαστεί να κάνετε αρκετές πράξεις . Ελπίζω

να μην τρομάξετε

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 12, 2025 11:39 am
Στο ορθογώνιο τρίγωνο με : , το είναι το μέσο της και το σημείο

της υποτείνουσας , τέτοιο ώστε : . Η τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το γινόμενο $SM \cdot MP$ ,

απλοποιήστε κατά το δυνατόν τον τύπο της και βρείτε το ελάχιστό της .

Σημείωση : Ανάλογα και με τον τρόπο λύσης που θα επιλέξετε , πιθανόν να χρειαστεί να κάνετε αρκετές πράξεις . Ελπίζω

να μην τρομάξετε

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Δημιουργικότητα και απλότητα 1.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Η υποτείνουσα προφανώς είναι:

$\displaystyle{(BC)=10, \ \ (1)}$

Εφαρμόζοντες το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και με διατέμνουσα την $\displaystyle{PS}$ εύκολα καταλήγουμε

στη σχέση:

$\displaystyle{y=\frac{4x}{5-x}, \ \ (2) }$

Άρα:

$\displaystyle{(PM)=\sqrt{y^2+9} \Rightarrow (PM)=\sqrt{(\frac{4x}{5-x})^2+9}, \ \ (3) }$

Επειδή ακόμα είναι:

$\displaystyle{cosB=\frac{6}{10}, \ \ (4) }$

εφαρμόζοντας το Νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{BMS}$ μετά από λίγες πράξεις καταλήγουμε:

$\displaystyle{(SM)=\sqrt{x^2-\frac{18x}{5}+9}, \ \ (5) }$

Από τις (3) και (5) προκύπτει η μορφή της ζητούμενης συνάρτησης. Δηλαδή:

$\displaystyle{f(x)=(PM)(SM)=\sqrt{(x^2-\frac{18x}{5}+9)((\frac{4x}{5-x})^2+9)}, \ \ (6) }$

η οποία βέβαια είναι ορισμένη για: $\displaystyle{0\leq x \leq 5 \ \ (7) }$

Η συνάρτηση αυτή μελετήθηκε ψηφιακά και έδωσε ως ελάχιστο για την τιμή:

$\displaystyle{x_{min}=1}$

την τιμή:

$\displaystyle{f_{min}=8 }$

όπως φαίνεται και στο σχήμα:

: Δημιουργικότητα και απλότητα 2.png (27.24 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Σημείωση:

Ευχαριστώ το Θανάση (KARKAR) για την επισήμανση κάποιας αβλεψίας μου, την οποία και αποκατέστησα.

KARKAR · #3

Κώστα ευχαριστώ για την λύση σου .

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 14, 2025 7:44 pm

$\displaystyle{f(x)=(PM)(SM)=\sqrt{(x^2-\frac{18x}{5}+9)((\frac{4x}{5-x})^2+9)} }$

Στα ζητούμενα ήταν και η απλοποίηση του τύπου της συνάρτησης . Και ω του θαύματος !

Είναι : $f(x)=\dfrac{5x^2-18x+45}{5-x}$ , τύπος πολύ ευκολότερα διαχειρίσιμος ...

#4

Θανάση καλημέρα...

Θαυμάζω την εργατικότητά σου και τις όμορφες εμπνεύσεις σου..

Δεν είχα μέχρι τώρα την ευκαιρία να σε γνωριίσω δια ζώσης, να είσαι καλά...

Από ό,τι κατάλαβες, εγώ κινούμαι από το 2000 και μετά στο χώρο

της ψηφιακής απεικόνισης και το απολαμβάνω, έτσι δεν με απασχολεί και πολύ

η παραπέρα απλούστευση αφού εύκολα διαχειρίζομαι τις παραστάσεις όπως αρχικά

τις βρίσκω στην ανάλυσή μου.

Καλημέρα...

Κώστας

KARKAR · #5

Δες τε τώρα ομορφιές : Είναι ( κάνοντας την διαίρεση ) :

$\dfrac{5x^2-18x+45}{5-x}=-5x-7+\dfrac{80}{5-x}=5(5-x)+\dfrac{80}{5-x}-32 \geq$

$2\sqrt{5(5-x)\dfrac{80}{5-x}}=2\cdot 20-32=8$ , ελάχιστη τιμή που επιτυγχάνεται αν :

${5(5-x)=\dfrac{80}{5-x}}$ , δηλαδή για x=1

.

Δημιουργικότητα και απλότητα

Δημιουργικότητα και απλότητα

Re: Δημιουργικότητα και απλότητα

Re: Δημιουργικότητα και απλότητα

Re: Δημιουργικότητα και απλότητα

Re: Δημιουργικότητα και απλότητα

Μέλη σε σύνδεση