Τετράγωνο στο τετράγωνο

[KARKAR]

Τετράγωνο στο τετράγωνο.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Στο πλευράς τετράγωνο να εγγράψετε άλλο τετράγωνο , του οποίου η πλευρά

να διέρχεται από το σημείο . Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που δεν δίνονται συντεταγμένες .

[Mihalis_Lambrou]

Τετράγωνο στο τετράγωνο.pngΣτο πλευράς τετράγωνο να εγγράψετε άλλο τετράγωνο , του οποίου η πλευρά

να διέρχεται από το σημείο . Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που δεν δίνονται συντεταγμένες .

Ας δούμε λύση όταν δίνονται οι συντεταγμένες, εδώ και .

Αν τότε (δεν θα χρειαστούν όλα, αλλά μας αρκούν τα ).

Από το γεγονός ότι τα είναι συνευθειακά έχουμε (με κλίσεις) .

Λύνοντας την προκύπτουσα δευτεροβάθμια ως προς , συγκεκριμένα την , θα βρούμε .

Συνεπώς το ένα ζητούμενο τετράγωνο είναι το και όμοια το άλλο.

[Doloros]

Τετράγωνο στο τετράγωνο.pngΣτο πλευράς τετράγωνο να εγγράψετε άλλο τετράγωνο , του οποίου η πλευρά

να διέρχεται από το σημείο . Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που δεν δίνονται συντεταγμένες .

Από την ομοιότητα των έχω :

τετράγωνο στο τετράγωνο.png (20.44 KiB) Προβλήθηκε 820 φορές

ή θεωρώ και κρατώ την πρώτη λύση .

Με όμοιο τρόπο στη γενική περίπτωση

[Mihalis_Lambrou]

Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που δεν δίνονται συντεταγμένες .

.
Καθαρά γεωμετρικά: Δίνεται τετράγωνο και εσωτερικό του σημείο . Θέλουμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη εγγράψιμο τετράγωνο με μία πλευρά του να διέρχεται από το .

Aν το κέντρο του αρχικού (και του ζητούμενου) τετραγώνου, τότε το συμμετρικό του ως προς to επίσης ανήκει σε πλευρά του ζητούμενου. Επίσης ανήκουν τα της μεσοκαθέτου της και με (άμεσο από την ισότητα των τριγώνων και λοιπά).

Άρα το βλέπει το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα υπό ορθή γωνία, και άρα βρίσκεται στο ημικύκλιο με διάμετρο . Σχεδιάζουμε λοιπόν το εν λόγω ημικύκλιο, η τομή του οποίου με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου μας δίνει το ζητούμενο σημείο , καθώς και ένα δεύτερο σημείο Αρχίζοντας από το μπορούμε εύκολα να συμπληρώσουμε το ζητούμενο τετράγωνο. Και λοιπά.
.

[Doloros]

Λύστε το πρόβλημα στην περίπτωση που δεν δίνονται συντεταγμένες .

.
Καθαρά γεωμετρικά: Δίνεται τετράγωνο και εσωτερικό του σημείο . Θέλουμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη εγγράψιμο τετράγωνο με μία πλευρά του να διέρχεται από το .

Aν το κέντρο του αρχικού (και του ζητούμενου) τετραγώνου, τότε το συμμετρικό του ως προς to επίσης ανήκει σε πλευρά του ζητούμενου. Επίσης ανήκουν τα της μεσοκαθέτου της και με (άμεσο από την ισότητα των τριγώνων και λοιπά).

Άρα το βλέπει το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα υπό ορθή γωνία, και άρα βρίσκεται στο ημικύκλιο με διάμετρο . Σχεδιάζουμε λοιπόν το εν λόγω ημικύκλιο, η τομή του οποίου με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου μας δίνει το ζητούμενο σημείο , καθώς και ένα δεύτερο σημείο Αρχίζοντας από το μπορούμε εύκολα να συμπληρώσουμε το ζητούμενο τετράγωνο. Και λοιπά.
.

Αυτό μάλιστα !

[KARKAR]

Πόσες λύσεις.png (38.69 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Απλά να πούμε - κάτι που υπονοείται στα παραπάνω - ότι στο αρχικό σχήμα έχουμε δύο λύσεις , οι οποίες

μάλιστα δίνουν τετράγωνα διαφορετικού μεγέθους .

Εύλογα θα αναρωτηθεί κανείς : Για ποιες θέσεις του , παίρνουμε μοναδική λύση και για ποιες καμία ;