Μία ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a,b, c \in (0, 1)$ τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=1

. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{(1-a^2)(1-b^2)} + \frac{b^2+c^2}{(1-b^2)(1-c^2)}+\frac{c^2+a^2}{(1-c^2)(1-a^2)} \geq \frac{9}{2}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 14, 2024 10:39 am
Έστω $a,b, c \in (0, 1)$ τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{(1-a^2)(1-b^2)} + \frac{b^2+c^2}{(1-b^2)(1-c^2)}+\frac{c^2+a^2}{(1-c^2)(1-a^2)} \geq \frac{9}{2}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

panosgl2006 · #3

Εδώ μια λύση χωρίς τριγωνομετρια:
έχω ότι $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=1 \, (1)$
Άρα
$\frac{a^2+b^2}{(1-b^2)(1-a^2)}+\frac{a^2+c^2}{(1-a^2)(1-c^2)}+\frac{c^2+b^2}{(1-c^2)(1-b^2)}\geq \frac{1-c^2}{(1-b^2)(1-a^2)}+\frac{1-b^2}{(1-c^2)(1-a^2)}+\frac{1-a^2}{(1-b^2)(1-c^2)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)}}$
Όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει από AM-GM
αφού οι όροι είναι θετικοί από υπόθεση.
Τώρα παρατηρώ ότι πάλι από (1)

και AM-GM:
$2\geq 1-a^2+1-b^2+1-c^2\geq 3\sqrt[3]{(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)} \, (2)$
από (1)

και

επειται το ζητούμενο

Tolaso J Kos · #4

Μία άλλη λύση...

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{cyc} \frac{a^2+b^2}{(1-a)^2(1-b^2)} &\geq \sum_{cyc}\frac{\frac{1}{2}(a+b)^2}{(1-ab)^2} \\ & = \sum_{cyc}\frac{\frac{1}{2}(a+b)^2}{c^2(a+b)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{1}{a^2} \\ & \geq \frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{1}{ab} \\ & =\frac{1}{2}\sum_{cyc}ab\sum_{cyc}\frac{1}{ab} \\ & \geq\frac{9}{2}. \end{aligned}}$

Μία ανισότητα

Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Re: Μία ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση