Ακατάλληλη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ακατάλληλη εφαπτομένη.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Με κέντρο σημείο

της διαγωνίου

τετραγώνου ABCD

γράφουμε τον κύκλο ( K , KB)

. Η

τέμνει τον κύκλο στο

. Πώς θα επιλέξουμε το

, ώστε : $\widehat{BKS}=45^0$ . Υπολογίστε και την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2024 10:10 am
Ακατάλληλη εφαπτομένη.pngΜε κέντρο σημείο της διαγωνίου τετραγώνου γράφουμε τον κύκλο . Η

τέμνει τον κύκλο στο . Πώς θα επιλέξουμε το , ώστε : $\widehat{BKS}=45^0$ . Υπολογίστε και την $\tan\theta$ .

Το σημείο

προκύπτει από την τομή της διαγωνίου

με τον κύκλο $\left( {A,a} \right)$ ( $a\,\,,$ είναι η πλευρά του τετραγώνου)

: Ακατάλληλη εφαπτομένη.png (49.47 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

$x = a\sqrt 2 - a = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)$ . $\boxed{\tan \theta = \frac{x}{y} = \frac{a}{{a + a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2024 10:10 am
Ακατάλληλη εφαπτομένη.pngΜε κέντρο σημείο της διαγωνίου τετραγώνου γράφουμε τον κύκλο . Η

τέμνει τον κύκλο στο . Πώς θα επιλέξουμε το , ώστε : $\widehat{BKS}=45^0$ . Υπολογίστε και την $\tan\theta$ .

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου και

η ακτίνα του κύκλου. Από νόμο συνημιτόνου στο DKB

είναι:

$\displaystyle B{D^2} = 2{r^2} - 2{r^2}\cos 135^\circ \Leftrightarrow 2{a^2} = {r^2}\left( {2 + \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{r = a\sqrt {2 - \sqrt 2 } }$

: Ακατάλληλη εφαπτομένη.png (21.42 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές

Κατασκευή: Γράφω τον κύκλο $\displaystyle \left( {B,a\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)$ που τέμνει την

σε δύο σημεία εκ των οποίων ονομάζω

εκείνο που βρίσκεται πιο κοντά στο

Εκ κατασκευής η

είναι διχοτόμος της γωνίας $B\widehat DE$ , οπότε

$DE=BD=a\sqrt 2\Rightarrow CE=a(\sqrt 2-1)$ και από Π.Θ στο DES

είναι $\displaystyle SE = a\left( {2 - \sqrt 2 } \right).$

$\displaystyle \tan \theta = \tan (C\widehat SE) = \frac{{CE}}{{SE}} = \frac{{\sqrt 2 - 1}}{{2 - \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Για το σημείο τομής K'(

πιο κοντά στο

της

με τον κύκλο $\displaystyle \left( {B,a\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right)$ θα επανέλθω αργότερα.

#4

Για το δεύτερο σημείο

της

: Ακατάλληλη εφαπτομένη.β.png (20.52 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία εύκολα βρίσκω $\displaystyle LS = DN = DB = a\sqrt 2$ και με Π.Θ

$\displaystyle DL = a(2 - \sqrt 2 ) \Rightarrow LC = a(\sqrt 2 - 1).$ Άρα, $\displaystyle \tan \theta = \frac{{LC}}{{LS}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 28, 2024 10:10 am
Ακατάλληλη εφαπτομένη.pngΜε κέντρο σημείο της διαγωνίου τετραγώνου γράφουμε τον κύκλο . Η

τέμνει τον κύκλο στο . Πώς θα επιλέξουμε το , ώστε : $\widehat{BKS}=45^0$ . Υπολογίστε και την $\tan\theta$ .

$\angle KDB= \angle KBD=22.5^0 \Rightarrow K$ έκκεντρο του τριγώνου BCD

άρα

Το

προσδιορίζεται λοιπόν ως η τομή του κύκλου (A,a)

με την

Προφανώς το ABZC

είναι παραλ/μμο ,άρα CZ=a

Από θ διχοτόμου, $\dfrac{CK}{KO}= \dfrac{CD}{OD}= \sqrt{2}= \dfrac{ZS}{SB}$ (Θ.Κ.δέσμης).Άρα $\dfrac{EB}{a}= \dfrac{1}{ \sqrt{2} }=tan \theta$

( η πλευρά

είναι

κι όχι

όπως γράφτηκε κατά λάθος)

: Ακατάλληλη εφαπτόμενη.png (55.58 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Ακατάλληλη εφαπτομένη

Ακατάλληλη εφαπτομένη

Re: Ακατάλληλη εφαπτομένη

Re: Ακατάλληλη εφαπτομένη

Re: Ακατάλληλη εφαπτομένη

Re: Ακατάλληλη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση