Αναλογία πλευρών

KARKAR · #1

: Αναλογία πλευρών.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 287 φορές

Διπλώσαμε το $a \times b$ ορθογώνιο ABCD

με την τσάκιση

, ώστε η κορυφή

να συμπέσει με την

.

Αν η

, μεταβεί στην θέση

και το κρυμμένο τμήμα

ισούται με το AA'

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{a}{b}$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

$\angle DTS =\angle TSB$
$\angle DTS =\angle STB$ και DT =TB

, $SA= SA^\prime$ , $BA^\prime =b$ (λόγω συμμετρίας)
οπότε $DT = TB = SB = AA^\prime =x$ και SA = CT = a-x

Όμως

οπότε $x=\dfrac{a^2+b^2}{2a}$

Από το θεώρημα Stewart στο $\triangle ABA^\prime$ έχουμε
$a\cdot ((a-x)^2+x\cdot (a-x))=x^2\cdot x+b^2\cdot (a-x)$

οπότε βρίσκουμε ότι ο λόγος $\dfrac{a^2}{b^2}$ είναι η μοναδική πραγματική (θετική) ρίζα της εξίσωσης 3 u^3-11 u^2+u-1=0

οπότε $\dfrac{a}{b} \approx 1.89731$ $\blacksquare$

Αναλογία πλευρών

Αναλογία πλευρών

Re: Αναλογία πλευρών

Μέλη σε σύνδεση