Ορθογώνιο σε τομέα

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο σε τομέα.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές

Σε κυκλικό τομέα ακτίνας

και γωνίας 45^0

, εγγράψτε - όπως φαίνεται στο σχήμα - ορθογώνιο

μεγίστου εμβαδού και υπολογίστε αυτό το εμβαδόν . Κάντε κάποια ενδιαφέρουσα παρατήρηση ,

για οποιαδήποτε οξεία γωνία του τομέα .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 10, 2023 7:26 pm
Ορθογώνιο σε τομέα.pngΣε κυκλικό τομέα ακτίνας και γωνίας , εγγράψτε - όπως φαίνεται στο σχήμα - ορθογώνιο

μεγίστου εμβαδού και υπολογίστε αυτό το εμβαδόν . Κάντε κάποια ενδιαφέρουσα παρατήρηση ,

για οποιαδήποτε οξεία γωνία του τομέα .

: Ορθογώνιο σε τομέα.png (10.92 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 10, 2023 7:26 pm
Ορθογώνιο σε τομέα.pngΣε κυκλικό τομέα ακτίνας και γωνίας , εγγράψτε - όπως φαίνεται στο σχήμα - ορθογώνιο

μεγίστου εμβαδού και υπολογίστε αυτό το εμβαδόν . Κάντε κάποια ενδιαφέρουσα παρατήρηση ,

για οποιαδήποτε οξεία γωνία του τομέα .

Έστω $O\widehat AS=\varphi.$ Τότε $\displaystyle OP = PT = SQ = r\sin \varphi ,OQ = r\cos \varphi$

: Ορθογώνιο σε τομέα.β.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

$\displaystyle (PQST) = PQ \cdot SQ = r\left( {\cos \varphi - \sin \varphi } \right) \cdot r\sin \varphi = {r^2}\left( {\sin \varphi \cos \varphi - {{\sin }^2}\varphi } \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle (PQST) = f(\varphi ) = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\sin 2\varphi + \cos 2\varphi - 1} \right),0 < \varphi \le \frac{\pi }{4}.$

$\displaystyle f'(\varphi ) = {r^2}\left( {\cos 2\varphi - \sin 2\varphi } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\varphi = 45^\circ$

Άρα τη στιγμή της μεγιστοποίησης η

καθίσταται διχοτόμος της γωνίας του τομέα και η εγγραφή του

ορθογωνίου είναι απλή. Το δε μέγιστο εμβαδόν είναι $\boxed{{(PQST)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$

$\displaystyle \bullet$ Η ίδια συνθήκη ότι η είναι διχοτόμος ισχύει για οποιαδήποτε οξεία γωνία $A\widehat OB=\theta.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 10, 2023 7:26 pm
Ορθογώνιο σε τομέα.pngΣε κυκλικό τομέα ακτίνας και γωνίας , εγγράψτε - όπως φαίνεται στο σχήμα - ορθογώνιο

μεγίστου εμβαδού και υπολογίστε αυτό το εμβαδόν . Κάντε κάποια ενδιαφέρουσα παρατήρηση ,

για οποιαδήποτε οξεία γωνία του τομέα .

$ST//OA\Rightarrow (PQST)=2(SOT)=r.TC$ και $(PQST)_{max} \Leftrightarrow (SOT)_{max} \Leftrightarrow CT_{max}$

το οποίο συμβαίνει όταν το τρίγωνο SOT

είναι ισοσκελές και προφανώς τότε

είναι διχοτόμος της γωνίας AOB

Αν τώρα $\angle AOB=45^0$ έχουμε

$tan \angle SOT=tan22.5^0= \sqrt{2}-1= \dfrac{CT}{OC} \Rightarrow \sqrt{2}-1= \dfrac{CT}{ \dfrac{r}{2} } \Rightarrow CT= \dfrac{r}{2}(\sqrt{2}-1)$

Τότε $(PQST)_{max} = 2(SOT)_{max}=\dfrac{r^2}{2}(\sqrt{2}-1)$

: ορθογώνιο σε τομέα.png (7.74 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

KARKAR · #5

Η λύση του Μιχάλη είναι εξαιρετική

Νομίζω πάντως ότι απαιτείται κάποια δικαιολόγηση για την πρόταση :

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 2:37 pm

$... CT_{max}$ , το οποίο συμβαίνει όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 7:26 pm
Η λύση του Μιχάλη είναι εξαιρετική

Νομίζω πάντως ότι απαιτείται κάποια δικαιολόγηση για την πρόταση :
Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2023 2:37 pm

$... CT_{max}$ , το οποίο συμβαίνει όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές

: Ορθογώνιο σε τομέα 1.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Ορθογώνιο σε τομέα

Ορθογώνιο σε τομέα

Re: Ορθογώνιο σε τομέα

Re: Ορθογώνιο σε τομέα

Re: Ορθογώνιο σε τομέα

Re: Ορθογώνιο σε τομέα

Re: Ορθογώνιο σε τομέα

Μέλη σε σύνδεση