Κι άλλη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Κι άλλη μεγιστοποίηση.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Το σημείο

κινείται στην υποτείνουσα

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με :

.

Η προέκταση της

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

. Υπολογίστε το : $(CTS)_{max}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 27, 2023 6:23 pm
Κι άλλη μεγιστοποίηση.png Το σημείο κινείται στην υποτείνουσα , ορθογωνίου τριγώνου , με : .

Η προέκταση της τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο σημείο . Υπολογίστε το : $(CTS)_{max}$ .

Έστω

οι προβολές των A, S

στην

αντίστοιχα. Θέτω CT=x, SE=y.

Εύκολα βρίσκω

$\displaystyle BC = 3\sqrt {10} ,CH = \frac{3}{{\sqrt {10} }},BH = \frac{{27}}{{\sqrt {10} }},HT = x - \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ και $\displaystyle AH = \frac{9}{{\sqrt {10} }}.$

: Κι άλλη μεγιστοποίηση.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Με Π.Θ στο AHT

έχω $\displaystyle A{T^2} = {x^2} + 9 - \frac{{6x}}{{\sqrt {10} }}.$ Εξάλλου, είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} AT \cdot TS = CT \cdot TB = x(3\sqrt {10} - x) \hfill \\ \hfill \\ \frac{{AT}}{{TS}} = \frac{{AH}}{y} = \frac{9}{{y\sqrt {10} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes A{T^2} = \frac{{9x(3\sqrt {10} - x)}}{{y\sqrt {10} }},$ οπότε $\displaystyle y = \frac{{9x(3\sqrt {10} - x)}}{{({x^2} + 9)\sqrt {10} - 6x}}.$

$\displaystyle (CTS) = \frac{1}{2}xy = \frac{9}{2} \cdot \frac{{{x^2}(3\sqrt {10} - x)}}{{({x^2} + 9)\sqrt {10} - 6x}}$

Με τη βοήθεια παραγώγων τώρα βρίσκω $\boxed{ {(CTS)_{\max }} = \frac{{36}}{5}}$ όταν $\boxed{CT=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 28, 2023 9:00 am

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 27, 2023 6:23 pm
Κι άλλη μεγιστοποίηση.png Το σημείο κινείται στην υποτείνουσα , ορθογωνίου τριγώνου , με : .

Η προέκταση της τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο σημείο . Υπολογίστε το : $(CTS)_{max}$ .
Έστω οι προβολές των στην αντίστοιχα. Θέτω Εύκολα βρίσκω

$\displaystyle BC = 3\sqrt {10} ,CH = \frac{3}{{\sqrt {10} }},BH = \frac{{27}}{{\sqrt {10} }},HT = x - \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ και $\displaystyle AH = \frac{9}{{\sqrt {10} }}.$ Κι άλλη μεγιστοποίηση.png
Με Π.Θ στο έχω $\displaystyle A{T^2} = {x^2} + 9 - \frac{{6x}}{{\sqrt {10} }}.$ Εξάλλου, είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} AT \cdot TS = CT \cdot TB = x(3\sqrt {10} - x) \hfill \\ \hfill \\ \frac{{AT}}{{TS}} = \frac{{AH}}{y} = \frac{9}{{y\sqrt {10} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \otimes A{T^2} = \frac{{9x(3\sqrt {10} - x)}}{{y\sqrt {10} }},$ οπότε $\displaystyle y = \frac{{9x(3\sqrt {10} - x)}}{{({x^2} + 9)\sqrt {10} - 6x}}.$

$\displaystyle (CTS) = \frac{1}{2}xy = \frac{9}{2} \cdot \frac{{{x^2}(3\sqrt {10} - x)}}{{({x^2} + 9)\sqrt {10} - 6x}}$

Με τη βοήθεια παραγώγων τώρα βρίσκω $\boxed{ {(CTS)_{\max }} = \frac{{36}}{5}}$ όταν $\boxed{CT=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}}$

Να προσθέσω ότι την στιγμή της μεγιστοποίησης :

1. $\widehat {ATB} = 135^\circ$ και

2. $\dfrac{{SC}}{{SB}} = 2$

Κι άλλη μεγιστοποίηση

Κι άλλη μεγιστοποίηση

Re: Κι άλλη μεγιστοποίηση

Re: Κι άλλη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση