Το λιγότερο

KARKAR · #1

: Το λιγότερο.png (6.93 KiB) Προβλήθηκε 513 φορές

Στα άκρα του τμήματος AB=a

, υψώνουμε τις κάθετες ημιευθείες

και

. Θεωρούμε τυχόν σημείο

του

και κατάλληλα σημεία P , T

, των

αντίστοιχα , ώστε το τρίγωνο SPT

να είναι του είδους

$\displaystyle «3-4-5»$ , με ορθή την γωνία $\hat{S}$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου SPT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 31, 2022 7:38 pm
Το λιγότερο.pngΣτα άκρα του τμήματος , υψώνουμε τις κάθετες ημιευθείες και . Θεωρούμε τυχόν σημείο

του και κατάλληλα σημεία , των αντίστοιχα , ώστε το τρίγωνο να είναι του είδους

$\displaystyle «3-4-5»$ , με ορθή την γωνία $\hat{S}$ . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Κατασκευάζω το τρίγωνο SPT

με

και εύκολα διαπιστώνω ότι $\displaystyle d = \frac{a}{5}.$ Αν

είναι το ύψος,

θα δείξω ότι τα ύψη όλων αυτών των τριγώνων έχουν το ίδιο ίχνος

: Το λιγότερο.Κ.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

Φέρνω τυχαία ευθεία που διέρχεται από το

και τέμνει τις Ax, By

στα

αντίστοιχα. Στη συνέχεια με

υποτείνουσα P'T'

κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο S'P'T'

με την κορυφή της ορθής γωνίας στην AB.

Θα

δείξω ότι αυτό το τρίγωνο είναι του είδους $\displaystyle «3-4-5» .$

$\displaystyle \frac{{P'D}}{{DT'}} = \frac{{PD}}{{DT}} = \frac{9}{{16}},$ άρα το

είναι μοναδικό και το ζητούμενο αποδείχτηκε. Επειδή τώρα $DS\le DS',$

$PT\le P'T',$ το τρίγωνο SPT

με

έχει το μικρότερο εμβαδόν που είναι $\boxed{{(SPT)_{\max }} = \frac{{6{a^2}}}{{25}}}$

Το λιγότερο

Το λιγότερο

Re: Το λιγότερο

Μέλη σε σύνδεση