Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία A(0,2)

και

, τέμνει τον οριζόντιο άξονα

στα σημεία S , T

. Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου ASBT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 14, 2022 6:09 pm
Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου.pngΚύκλος διερχόμενος από τα σημεία και , τέμνει τον οριζόντιο άξονα

στα σημεία . Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Η ευθεία

είναι σταθερή κι έχει εξίσωση , x + 3y = 6

τέμνει δε τον οριζόντιο άξονα στο σταθερό σημείο $F\left( {6,0} \right)$ .

$\boxed{\left( {ASBT} \right) = \left( {AST} \right) + \left( {BST} \right) = ST + \frac{1}{2}ST = \frac{3}{2}ST\,\,\left( 1 \right)}$ . Αρκεί επομένως να γίνει ελάχιστο το

.

: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου_Ανάλυση.png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Αλλά

και αφού $SF \cdot FT = AF \cdot FT$ ( σταθερό) , το άθροισμα ST = SF + FT

γίνεται ελάχιστο, αν SF = FT

,

Δηλαδή το θα ταυτιστεί με την προβολή, , του κέντρου πάνω στον οριζόντιο άξονα.

Η μεσοκάθετος του

έχει εξίσωση : y = 3x - 13

και για

προκύπτει $K\left( {6,5} \right)$ που είναι το κέντρο του κύκλου που χρειάζομαι .

: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου_ok.png (27.69 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Τότε : ${R^2} = A{K^2} = {6^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 45 \Rightarrow S{F^2} = 45 - 25 = 20 = 2\sqrt 5$ και άρα :

$ST = 2SF = 4\sqrt 5 \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \boxed{{{\left( {ASBT} \right)}_{\min }} = \frac{3}{2} \cdot 4\sqrt 5 = 6\sqrt 5 }$ .

Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: Ελάχιστο εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση