Κοντά στο ναδίρ

KARKAR · #1

: Κοντά στο ναδίρ.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 989 φορές

Σημείο

κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=6

. Η εφαπτομένη

στο

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

και την μεσοκάθετη της χορδής

στο

.

α) Πότε έχουμε : (TOP)=15

; ... β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του (TOP)

;

#2

Ας δούμε πρώτα το α ερώτημα.

Η ευθεία

είναι πάντα κάθετη στην

ως συμμετρική της ευθείας

με άξονα την

.

Θέτω: $BP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT = y$ και θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} 2\left( {OTB} \right) = 2\left( {ATP} \right) - 2\left( {ATO} \right) \hfill \\ 2\left( {OTB} \right) = OS \cdot TP \hfill \\ S{P^2} = PB \cdot PA \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x + 6} \right)y - 3y = 30 \hfill \\ 30 = 3\left( {y + SP} \right) \hfill \\ S{P^2} = x \cdot \left( {x + 6} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x + 6} \right)y - 3y = 30 \hfill \\ 10 = y + \sqrt {x\left( {x + 6} \right)} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Κοντά στο Ναδίρ oritzin_a.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές

Από το πιο πάνω σύστημα έχω δύο δεκτές λύσεις : $\left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ή $\left\{ \begin{gathered} x = 2\sqrt {19} - 7 \hfill \\ y = \sqrt {19} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

nickchalkida · #3

Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι $(TOP)=15 \rightarrow TP=10$ ,
τότε από θεώρημα διχοτόμων και από Πυθαγόρειο, λαμβάνω το ακόλουθο σύστημα

$\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & {y \over 10} = {3 \over 3+x} \cr & y^2 + (6+x)^2 = 100 \cr \end{aligned} \right. }$

... που επιλύεται κάνοντας δεκτές τις κάτωθι λύσεις

$\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & x=2,\ y=6 \cr & x=2\sqrt{19}-7,\ y=2+\sqrt{19} \cr \end{aligned} \right. }$

#4

Το δεύτερο ερώτημα.

Έστω $\boxed{\widehat {BOS} = t \in \left( {0,\dfrac{\pi }{2}} \right)}$ ( Από την υπόθεση). Θα είναι :

$S\left( {3\cos t,3\sin t} \right)\,\,,\,\,SP \to x\cos t + y\sin t = 3\,,\,\,P\left( {\dfrac{3}{{cost}},0} \right)$ . Επίσης , $\overrightarrow {AS} = 3\left( {1 + \cos t,\sin t} \right)$ και έτσι έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = \dfrac{{\sin t}}{{1 + \cos t}} = \tan \dfrac{t}{2}$ .

Επειδή το

έχει τετμημένη πάντα ,

το σημείο

προκύπτει από τη λύση του συστήματος :

$\left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ x\cos t + y\sin t = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow T\left( { - 3,\dfrac{3}{{\tan \dfrac{t}{2}}}} \right)$ .

: Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_kartesios.png (15.33 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Έτσι η συνάρτηση που δίδει το εμβαδόν του $\vartriangle OPT$ είναι : $f(t) = \dfrac{9}{{2\cos t\tan \dfrac{t}{2}}}$ .

Παρουσιάζει ελάχιστο για $t = a\cos \left( {\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right) = a\cos \dfrac{1}{\varphi } \Rightarrow \cos t = \dfrac{1}{\varphi }$

Δηλαδή : $\dfrac{3}{{3 + x}} = \dfrac{1}{\varphi } \Leftrightarrow \boxed{x = 3\left( {\varphi - 1} \right)}$ και είναι : $\boxed{{{\left( {OTP} \right)}_{\min }} = \dfrac{{9{\varphi ^2}\sqrt \varphi }}{2} \simeq 14,985858}$

Πολύ κοντά στο

( εξ μάλλον και ο τίτλος) . x=BP

, όπως στην ανάρτηση του α ερωτήματος

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 07, 2021 12:35 pm
Κοντά στο ναδίρ.pngΣημείο κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου . Η εφαπτομένη

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την μεσοκάθετη της χορδής στο .

α) Πότε έχουμε : ; ... β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ;

Για το β) ερώτημα.

: Ναδίρ.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

Βρίσκω $\displaystyle {(TOP)_{\min }} = \frac{9}{4}\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }$ για $\displaystyle x = \frac{3}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

Το μεσημεράκι η λύση.

#6

: Κοντά στο Ναδίρ oritzin_b_2.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το άθροισμα δύο ορθογωνίων τριγώνων , δηλαδή:

$E = \dfrac{3}{2}\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} + \dfrac{3}{2}y\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά από το Θ. διχοτόμων στο $\vartriangle TAP$ έχω:

$y = \dfrac{{3\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{x}$ $\left( 2 \right)$ κι έτσι προκύπτει η συνάρτηση του ζητουμένου εμβαδού :

$\boxed{f(x) = \frac{{3\left( {x + 3} \right)\sqrt {x\left( {x + 6} \right)} }}{{2x}}}$ με παράγωγο: $\boxed{f'\left( x \right) = \frac{{3\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)\sqrt {x + \left( {x + 6} \right)} }}{{2{x^2}\left( {x + 6} \right)}}}$

Η

παρουσιάζει ελάχιστο για $\boxed{x = \frac{3}{\varphi } = 3\left( {\varphi - 1} \right)}$ κ. λ. π.

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 07, 2021 12:35 pm
Κοντά στο ναδίρ.pngΣημείο κινείται στην ανατολική "πλαγιά" του ημικυκλίου διαμέτρου . Η εφαπτομένη

στο , τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την μεσοκάθετη της χορδής στο .

β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ;

Έστω

Είναι, $\displaystyle (TOP) = \frac{{AT(x + 3)}}{2} = \frac{{3PT}}{2} \Leftrightarrow AT = \frac{{3PT}}{{x + 3}}$

: Ναδίρ.png (18.21 KiB) Προβλήθηκε 839 φορές

$\displaystyle A{T^2} + A{P^2} = P{T^2} \Leftrightarrow \frac{{9P{T^2}}}{{{{(x + 3)}^2}}} + {(x + 6)^2} = P{T^2} \Leftrightarrow PT = (x + 3)\sqrt {\frac{{x + 6}}{x}},$ απ' όπου

$\displaystyle (TOP) = \frac{3}{2}(x + 3)\sqrt {\frac{{x + 6}}{x}}$ και με παραγώγους, $\boxed{ {(TOP)_{\min }} = \frac{9}{4}\sqrt {22 + 10\sqrt 5 }}$ για $\boxed{ x = \frac{3}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}$

Κοντά στο ναδίρ

Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Re: Κοντά στο ναδίρ

Μέλη σε σύνδεση