Κατασκευή και ημίτονο

KARKAR · #1

: Κατασκευή και ημίτονο.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Στη βάση

του ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC)

, βρίσκεται σημείο

, ώστε :

.

Επί της

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{DAC}$ . Κατασκευάστε το τρίγωνο , έτσι ώστε

να προκύψει ισότητα των τριγώνων ADC , ABS

. Υπολογίστε τώρα το : $\sin\widehat{ACS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 20, 2021 9:03 pm
Κατασκευή και ημίτονο.pngΣτη βάση του ισοσκελούς τριγώνου , βρίσκεται σημείο , ώστε : .

Επί της θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{DAC}$ . Κατασκευάστε το τρίγωνο , έτσι ώστε

να προκύψει ισότητα των τριγώνων . Υπολογίστε τώρα το : $\sin\widehat{ACS}$ .

Πρώτα η κατασκευή.

: Κατασκευή και ημίτονο.Κ.png (15.43 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

Σε ευθύγραμμο τμήμα

θεωρώ σημεία

ώστε

Ο κύκλος

τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή του ABC.

Το

ορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου (B, BD)

με την

Η απόδειξη είναι απλή.

Θέτω DC=x

οπότε

και από την ισότητα των τριγώνων ADC , ABS

προκύπτει ότι DC=AS=SD=x.

: Κατασκευή και ημίτονο.Κ1.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Επειδή το

είναι ισοσκελές θα ισχύει $\displaystyle {b^2} = A{D^2} + BD \cdot DC = 4{x^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow b = x\sqrt 6$

και με νόμο συνημιτόνου στο αρχικό τρίγωνο παίρνω $\boxed{\cos B = \frac{{\sqrt 6 }}{4}}$ (1)

$\displaystyle \omega = \widehat B - S\widehat CD = \widehat B - \left( {90^\circ - \widehat B} \right) = 2\widehat B - 90^\circ \Leftrightarrow \sin \omega = - \cos 2B$

$\displaystyle \sin \omega = - (2{\cos ^2}B - 1)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\sin \omega=\frac{1}{4}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 20, 2021 9:03 pm
Κατασκευή και ημίτονο.pngΣτη βάση του ισοσκελούς τριγώνου , βρίσκεται σημείο , ώστε : .

Επί της θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{DAC}$ . Κατασκευάστε το τρίγωνο , έτσι ώστε

να προκύψει ισότητα των τριγώνων . Υπολογίστε τώρα το : $\sin\widehat{ACS}$ .

Κατασκευή

Θεωρούμε το σταθερό τμήμα BC=a

Κατασκευάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο DCE

με $DC= \dfrac{a}{3} ,DE=EC= \dfrac{2a}{3}$ κι έστω

το συμμετρικό του

ως προς

.

Το

είναι το ζητούμενο ισοσκελές τρίγωνο και το σημείο

ορίζεται ως το μέσον του

Απόδειξη

είναι ισοσκελές τραπέζιο με $CE=ED=DB=BS= \dfrac{2a}{3}$ και οι γωνίες

είναι ίσες

Τα τρίγωνα ADC,ABS

είναι ίσα γιατί έχουν $AS=DC= \dfrac{a}{3}$ , $BS=AD=\dfrac{2a}{3}$ και $\angle ASB= \angle ADC$

ως παραπληρώματα της

άρα $\angle \phi = \angle \theta$ και $\angle C= \angle BAD= \angle B$

Υπολογισμοί

Ισχύει $AB^2=BD . BC \Rightarrow b^2= \dfrac{2a^2}{3}$ και με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABC

παίρνουμε $cosA= \dfrac{1}{4}$

Επειδή όμως $AD=DB=DE= \dfrac{2a}{3} \Rightarrow AB \bot EB \Rightarrow CS \bot AB$ . Άρα $sin \omega =cosA= \dfrac{1}{4}$

: Κατασκευή και ημίτονο.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Κατασκευή και ημίτονο

Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Re: Κατασκευή και ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση