Δεκαετής μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Δεκαετής μεγιστοποίηση.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Το τμήμα

είναι σταθερό . Η ακτίνα OA=r , (r<a)

, του κύκλου (O,OA)

μεταβάλλεται .

Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Βρείτε την τιμή της ακτίνας , για την οποία μεγιστοποιείται το (TAS)

.

Για την αιτιολόγηση του τίτλου , δείτε την ημερομηνία εγγραφής του θεματοδότη στο forum .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 08, 2020 9:11 am
Δεκαετής μεγιστοποίηση.pngΤο τμήμα είναι σταθερό . Η ακτίνα , του κύκλου μεταβάλλεται .

Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Βρείτε την τιμή της ακτίνας , για την οποία μεγιστοποιείται το .

Για την αιτιολόγηση του τίτλου , δείτε την ημερομηνία εγγραφής του θεματοδότη στο forum .

: 10ετής μεγ..png (17.78 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} ST = \sqrt {{d^2} - {r^2}} \\ \\ \dfrac{{AD}}{r} = \dfrac{{d - r}}{d} \Leftrightarrow AD = \dfrac{{r(d - r)}}{d} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{(TAS) = f(r) = \frac{{(d - r)r}}{{2d}}\sqrt {{d^2} - {r^2}} ,0 < r < d}$

$\displaystyle f'(r) = \frac{{(r - d)(3{r^2} + dr - {d^2})}}{{2d\sqrt {{d^2} - {r^2}} }},0 < r < d,$ άρα η

έχει για $\boxed{r = \frac{d}{6}\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}$ μέγιστη τιμή

$\boxed{{(TAS)_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{{54}}\sqrt {\frac{1}{2}\left( {587 - 143\sqrt {13} } \right)} }$

Θανάση, σου εύχομαι πολλές επιτυχημένες δεκαετίες σαν κι αυτήν

#3

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το αντιδιαμετρικό του

.

Η τετράδα $\left( {H,S\backslash B,A} \right)$ είναι αρμονική , Θέτω $HA = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HT = h\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OS = a$ .

Από την αρμονική αναλογία έχω: $k = \dfrac{{r(a - r)}}{a}\,\,\,(1)$

: Δεκαετής μεγιστοποίηση_ok.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Από την $T{H^2} = HA \cdot HB \Rightarrow h = \dfrac{r}{a}\sqrt {{a^2} - {r^2}}$ $\left( 2 \right)$ οπότε για το

$\left( {TAS} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {AS} \right)h = \dfrac{{r(a - r)}}{{2a}}\sqrt {{a^2} - {r^2}} = f(r)$

Προκύπτει ότι έχει μέγιστο εμβαδόν για $\displaystyle \boxed{r = \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}a}$ το

$\boxed{{{\left( {TAS} \right)}_{\max }} = {a^2}\sqrt {\frac{{587 - 143\sqrt {13} }}{{5832}}} }$

nickchalkida · #4

$\displaystyle{ (TAS)_{max} \rightarrow (TD \cdot AS)_{max} }$

όμως

$\displaystyle{ {TD \over OT} = {TS \over OS} \rightarrow TD = {r \over d}\sqrt{d^2-r^2} }$

άρα επιθυμώ να μεγιστοποιήσω τήν

$\displaystyle{ \begin{aligned} f(r) &= {(d-r)r \over d}\sqrt{d^2-r^2} \cr &= {r \over d}\big(1- {r \over d}\big)\sqrt{1-\big({r \over d}\big)^2} = \cr f(x) &= x(1-x)\sqrt{1-x^2} \ , \ \ \ x={r \over d} \cr \end{aligned} }$

Είναι τότε

$\displaystyle{ f'(x) = { 3x^2-2x^2-2x+1 \over \sqrt{1-x^2}} = { (x-1)(3x^2+x-1) \over \sqrt{1-x^2}} = 0 \rightarrow x = {-1 + \sqrt{13} \over 6} }$

Άρα
$\displaystyle{ (TAS)_{max} \rightarrow r= {d \over 6}(\sqrt{13}-1) }$

Δεκαετής μεγιστοποίηση

Δεκαετής μεγιστοποίηση

Re: Δεκαετής μεγιστοποίηση

Re: Δεκαετής μεγιστοποίηση

Re: Δεκαετής μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση