Μέγιστο εμβαδόν 30

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 30.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 877 φορές

Το

είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

. Σημείο

κινείται επί της

και η

τέμνει το τόξο στο σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου TSB

.

#2

: μέγιστο εμβαδόν 30_αναλυτική.png (18.08 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Θεωρώ τον μοναδιαίο κύκλο και

την κλίση της

κι έχω:

$S\left( {0,k} \right)\,\,\,,\,\,T\left( {\dfrac{{1 - {k^2}}}{{1 + {k^2}}},\dfrac{{2k}}{{1 + {k^2}}}} \right)\,\,,\,\,B\left( {0,1} \right)$ και άρα το εμβαδόν

$\boxed{E = \left( {TSB} \right) = f(k) = \frac{{2k\left( {1 - {k^2}} \right)}}{{1 + {k^2}}}}$ που παρουσιάζει μεγίστη τιμή για

$k = \sqrt {\sqrt 5 - 2} \,\,\,$ την $\sqrt {10\sqrt 5 - 22}$ οπότε για κύκλο με ακτίνα

θα πρέπει :

$\boxed{OS = r\sqrt {\sqrt 5 - 2} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{E_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{2}\sqrt {10\sqrt 5 - 22} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 04, 2020 2:14 pm
Μέγιστο εμβαδόν 30.pngΤο είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου . Σημείο κινείται επί της

και η τέμνει το τόξο στο σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Μέγιστο εμβαδόν 30.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές

$\displaystyle AS \cdot AT = 2{r^2} \Leftrightarrow AT = \frac{{2{r^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }}$ και $\displaystyle ST = AT - AS \Leftrightarrow ST = \frac{{{r^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }}$

$\displaystyle T{B^2} = 4{r^2} - A{T^2} \Leftrightarrow TB = \frac{{2xr}}{{\sqrt {{x^2} + {r^2}} }}.$ Άρα, $\boxed{(TSB) = \frac{{TS \cdot TB}}{2} = \frac{{xr({r^2} - {x^2})}}{{{x^2} + {r^2}}}}$

Με παραγώγους τώρα, παίρνω τα ίδια αποτελέσματα με τον Νίκο.

nickchalkida · #4

$\displaystyle{ \begin{aligned} & (TSB)_{max} \rightarrow ((TAB)-(SAB))_{max} \rightarrow \cr & (k\cdot TK - k\cdot SO)_{max} \rightarrow (TK - SO)_{max} \rightarrow \cr & ((r+r\cos(2\theta)\tan\theta - r\tan\theta)_{max} \cr & (r\cos(2\theta)\tan\theta)_{max} \rightarrow (r{1-\tan^2\theta \over 1+\tan^2\theta}\tan\theta)_{max} \end{aligned} }$

Για $f(x)=r{x-x^3 \over 1+x^2} = 0$ βρίσκω $x^2=-2\pm \sqrt{5}$ άρα

$\displaystyle{ \tan^2\theta = \sqrt{5}-2 \rightarrow \tan\theta = \sqrt{\sqrt{5}-2} }$

τότε είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & (TSB) = (TAB) - (SAB) = {1\over 2} 2r (TK-SO) = r^2{1-\tan^2\theta \over 1 + \tan^2\theta}\tan\theta = \cr & = r^2{3-\sqrt{5} \over -1+\sqrt{5}}\sqrt{\sqrt{5}-2}\cr \end{aligned} }$

#5

Μια παρατήρηση :

: μέγιστο εμβαδόν 30_extra.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Στην περίπτωση που έχουμε το μέγιστο εμβαδόν $\left( {TSB} \right)$ το

χωρίζει το

σε μέσο κι άκρο λόγο .

Η κατασκευή επομένως μπορεί να γίνει ως εξής:

Χωρίζουμε την διάμετρο

σε μέσο κι άκρο λόγο ( με το σημείο της

)

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

στο σημείο

.

Μέγιστο εμβαδόν 30

Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

Re: Μέγιστο εμβαδόν 30

Μέλη σε σύνδεση