Εξάγωνο και παραβολή

#1

: Εξάγωνο και παραβολή.png (14.02 KiB) Προβλήθηκε 1125 φορές

Στο σχήμα, το ABCDE F

είναι κανονικό εξάγωνο πλευράς

Τα

είναι σημεία του ημιάξονα OX,

ενώ τα

ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση y=ax^2+bx+c.

Αν η παραβολή τέμνει τον

στα

να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος PQ.

#2

Γιώργο χαίρομαι που σε ξαναβλέπω

ύστερα από την 24ωρη 'απουσία' του

Το πρόβλημα αυτό το πρωτοείδα σήμερα στα Aναπάντητα, η απάντηση είναι $|PQ|=2\sqrt{7}$ :

Τοποθετούμε το εξάγωνο πλευράς

'κεντρικά', ώστε να έχει δηλαδή τον άξονα των

ως άξονα συμμετρίας. Εύκολα βρίσκουμε D=(1,0)

, $C=(\(2,\sqrt{3})$ , $B=(1,2\sqrt{3})$ . Η περιγεγραμμένη παραβολή είναι της μορφής y=ax^2+b

, και επειδή τα

,

κείνται επί της παραβολής, ισχύουν οι $\sqrt{3}=4a+b$ και $2\sqrt{3}=a+b$ . H επίλυση του συστήματος δίνει $a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $b=\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ . Διαπιστώνουμε ότι η παραβολή $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}x^2+\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ τέμνει τον άξονα των

στα $P=(-\sqrt{7},0)$ , $Q=(\sqrt{7},0)$ , οπότε $|PQ|=2\sqrt{7}$ .

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 20-3-2020 8:30 μμ: ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για κάποιες διορθώσεις (όσον αφορά τις συντεταγμένες των C, B κλπ).

#3

Μόλις το έγραψα, είδα ότι ... απλώς επαναλαμβάνω τη λύση του Γιώργου. Οπότε, ας μοιραστούμε το σχήμα!

: 20-03-2020 Γεωμετρία c.jpg (22.61 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

Δεν αλλάζει κάτι στο μήκος

αν κάνουμε παράλληλη μεταφορά του σχήματος, ώστε D(1, 0)

. Τότε $\displaystyle BD = 2\sqrt 3$ (διπλάσιο απόστημα εξαγώνου πλευράς

).

(Αλλιώς: Στο ισοσκελές BDC

είναι $\displaystyle B{D^2} = {2^2} + {2^2} - 2 \cdot {2^2}\sigma \upsilon \nu 120^\circ = 12 \Rightarrow BD = 2\sqrt 3$ )

Οπότε $\displaystyle B\left( {1,\;2\sqrt 3 } \right)$ .

Επίσης KC = 2

, άρα $\displaystyle C\left( {2,\;\sqrt 3 } \right)$ .

Η παραβολή έχει πλέον τη μορφή $\displaystyle y = c{x^2} + d,\;\;c < 0,\;d > 0$

Διέρχεται από το

άρα είναι $\displaystyle 2\sqrt 3 = c + d$ (1) και από το

, άρα είναι $\displaystyle \sqrt 3 = 4c + d$ (2)

Από το σύστημα των (1), (2) έχουμε $\displaystyle c = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\;\;d = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$ .

Η παραβολή $\displaystyle y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^2} + \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$ τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα $\displaystyle P\left( { - \sqrt 7 ,0} \right),\;Q\left( {\sqrt 7 ,0} \right)$ , άρα $\displaystyle PQ = 2\sqrt 7$ .

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 20, 2020 9:48 pm
Μόλις το έγραψα, είδα ότι ... απλώς επαναλαμβάνω τη λύση του Γιώργου. Οπότε, ας μοιραστούμε το σχήμα!

Δεν πειράζει ... όπου Γιώργος και μάλαμα!

[Επίσης Γιώργο ... εξηγείς καλύτερα την εύρεση των συντεταγμένων (όπου είχα κάνει αρχικά λάθος που επισήμανε ο άλλος Γιώργος).]

Εξάγωνο και παραβολή

Εξάγωνο και παραβολή

Re: Εξάγωνο και παραβολή

Re: Εξάγωνο και παραβολή

Re: Εξάγωνο και παραβολή

Μέλη σε σύνδεση