Τρισμετάβλητο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρισμετάβλητο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 29, 2019 12:00 pm

Βρείτε ζεύγη θετικών ακεραίων ( k,n) , k>1 , n>1 ,

ώστε το : \displaystyle \int_{1}^{k}\frac{x+n}{\sqrt{x+3n}}dx , να είναι επίσης ακέραιο .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρισμετάβλητο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 29, 2019 9:35 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 12:00 pm
Βρείτε ζεύγη θετικών ακεραίων ( k,n) , k>1 , n>1 ,

ώστε το : \displaystyle \int_{1}^{k}\frac{x+n}{\sqrt{x+3n}}dx , να είναι επίσης ακέραιο .
Από ότι καταλαβαίνω ζητάς ζεύγη και όχι όλα τα ζεύγη. Έτσι και αλλιώς δίνω άπειρη οικογένεια, αλλά παραλείπω πώς σκέφτηκα (αν και από τα συμφραζόμενα βγάζει κανείς άκρη).

Το ολοκλήρωμα ισούται \displaystyle{2\sqrt {1+3n}\cdot n-\frac {2}{3} \sqrt{1+3n}+\frac {2}{3} \sqrt{k+3n} \cdot k -2\sqrt{k+3n}\cdot n\, (*)}.

Επιλέγουμε n=3p^2+2p, \, k=n^2-3n για ακέραιo p (αργότερα θα περιορίσουμε το p στην άπειρη υποικογένεια p=3m+2).

Είναι \displaystyle{\sqrt {1+3n}= \sqrt {9p^2+6p+1} = 3p+1 =} ακέραιος. Επίσης \displaystyle{\sqrt{k+3n}= n =} ακέραιος. Έτσι ο πρώτος και ο τελευταίος προσθεταίος στην (*), δεν παρουσιάζουν πρόβλημα. Μένουν οι δύο μεσαίοι που εκ πρώτης όψεως είναι κλάσμα με παρονομαστή το 3. Όμως

\displaystyle{-\frac {2}{3} \sqrt{1+3n}+\frac {2}{3} \sqrt{k+3n} \cdot k =-\frac {2}{3} (3p+1) + \frac {2}{3} n (n^2-3n) =akeraios+ \frac {2}{3}(n^3-1)  = }

Εξετάζουμε τώρα τον τελευταίο όρο \displaystyle{= \frac {2}{3}(n^3-1) = \frac {2}{3}(n-1)(n^2+n+1)=  \frac {2}{3}(3p^2+2p-1)(n^2+n+1). Μπορούμε τώρα να επιλέξουμε το p έτσι ώστε το \frac {2}{3}(3p^2+2p-1) να είναι ακέραιος. Το πετυχαίνουμε, ισοδύναμα, αν \frac {2}{3}(2p-1) ακέραιος, που για p=3m+2 είναι εντάξει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρισμετάβλητο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 30, 2019 9:38 am

Έκανα διόρθωση σφάλματος προς το τέλος. Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Θανάση για μήνυμα ότι "κάτι δεν πάει καλά" στην τελευταία ισότητα που έγραψα αρχικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρισμετάβλητο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 30, 2019 9:06 pm

Ας γράψω και την δική μου προσέγγιση : Επειδή : \displaystyle \int \frac{x+n}{\sqrt{x+3n}}dx=\frac{2}{3}(x-3n)\sqrt{x+3n}+c ,

είναι : \displaystyle \int_{1}^{k} \frac{x+n}{\sqrt{x+3n}}dx=\frac{2}{3}\left ((k-3n)\sqrt{k+3n}-(1-3n)\sqrt{1+3n}  \right ) .

Θέλουμε : 1+3n=p^2 , δηλαδή : n=\dfrac {p^2-1}{3} , οπότε επιλέγω τον ακέραιο p ,

ώστε : p>1 και όχι πολλαπλάσιο του 3 (γιατί ; ), δηλαδή : p=2,4,5,7,8,10 ,... .

Θέλοντας τον μικρότερο δυνατό k , επιλέγω τον k=6p+10 διότι τότε : k+3n=

 =k-1+1+3n=6p+9+p^2=(p+3)^2 κι έτσι εξασφαλίσαμε και το άλλο ριζικό .

Διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει τιμή του k , ώστε   k+3n=(p+1)^2 , ή k+3n=(p+2)^2 .

Αντικαθιστώντας στο ορισμένο ολοκλήρωμα , με αρκετές πράξεις , βρίσκω :

\displaystyle\int_{1}^{k} \frac{x+n}{\sqrt{x+3n}}dx=2(p^2+9p+11) , ακέραιος και μάλιστα άρτιος .

Και ένα παράδειγμα : Για p=28 , είναι : n=261 , k=178 και :

\displaystyle\int_{1}^{178} \frac{x+261}{\sqrt{x+783}}dx=2094 , πολύ μπροστά από την εποχή μας !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης